Упражнение 285 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\left(1 ^{\color{blue}{\backslash{1-x^2}}} - \dfrac{3x^2}{1 - x^2}\right) : \left(\dfrac{x}{x+1} + 1 ^{\color{blue}{\backslash{x+1}}} \right)=\)

\(=\dfrac{1-x^2-3x^2}{1 - x^2} : \dfrac{x+x+1}{x+1}=\)

\(=\dfrac{1-4x^2}{1 - x^2} : \dfrac{2x+1}{x+1}=\)

\(=\dfrac{(1-2x)(1+2x)}{(1 - x)(1+x)} \cdot \dfrac{x+1}{2x+1}=\)

\(=\dfrac{(1-2x)\cancel{(1+2x)}\cdot\cancel{(x+1)}}{(1 - x)\cancel{(1+x)}\cdot\cancel{(2x+1)}}=\)

\(=\dfrac{1-2x}{1-x}\)

б) \(\left(\dfrac{a + b}{b} ^{\color{blue}{\backslash{a+b}}} - \dfrac{a}{a + b} ^{\color{blue}{\backslash{b}}} \right) : \left(\dfrac{a + b}{a} ^{\color{blue}{\backslash{a+b}}} - \dfrac{b}{a + b} ^{\color{blue}{\backslash{a}}} \right)=\)

\(=\dfrac{(a + b)^2-ab}{b(a+b)} : \dfrac{(a + b)^2-ab}{a(a+b)} =\)

\(=\dfrac{(a + b)^2-ab}{b(a+b)} \cdot \dfrac{a(a+b)}{(a + b)^2-ab} =\)

\(=\dfrac{\cancel{((a + b)^2-ab)}\cdot a\cancel{(a+b)}}{b\cancel{(a+b)}\cdot \cancel{((a + b)^2-ab)}}=\frac{a}{b}\)

в) \(\dfrac{3a^2 - a + 3}{a^3 - 1} - \dfrac{a - 1}{a^2 + a + 1} + \dfrac{2}{1 - a}=\)

\(=\dfrac{3a^2 - a + 3}{(a - 1)(a^2 + a + 1)} - \dfrac{a - 1}{a^2 + a + 1} ^{\color{blue}{\backslash{a-1}}} - \dfrac{2}{a-1} ^{\color{blue}{\backslash{a^2 + a + 1}}} =\)

\(=\dfrac{3a^2 - a + 3 - (a-1)^2-2(a^2+a+1)}{(a - 1)(a^2 + a + 1)}=\)

\(=\dfrac{3a^2 - a + 3 - (a^2-2a+1)-2a^2-2a-2}{(a - 1)(a^2 + a + 1)}=\)

\(=\dfrac{\cancel{3a^2} - a + \cancel{3} - \cancel{a^2}+\cancel{2a}-\cancel{1}-\cancel{2a^2}-\cancel{2a}-{2}}{(a - 1)(a^2 + a + 1)}=\)

\(=\dfrac{-a}{(a - 1)(a^2 + a + 1)}=\)

\(=-\dfrac{a}{a^3 - 1}=\dfrac{a}{1-a^3}\)

г) \(\left(\dfrac{2b}{1 - b} - b ^{\color{blue}{\backslash{1-b}}} \right) : \dfrac{3b + 3}{b - 1}=\)

\(=\dfrac{2b-b(1-b)}{1 - b}  : \dfrac{3(b + 1)}{b - 1}=\)

\(=\dfrac{2b-b+b^2}{1 - b}  \cdot \dfrac{b - 1}{3(b + 1)}=\)

\(=\dfrac{b+b^2}{1 - b}  \cdot \dfrac{b - 1}{3(b + 1)}=\)

\(=\dfrac{b(1+b)}{-(b-1)}  \cdot \dfrac{b - 1}{3(b + 1)}=-\frac{b}{3}\)

\(=-\dfrac{b\cancel{(b+1)}\cdot\cancel{(b-1)}}{(\cancel{b-1)}\cdot 3\cancel{(b+1)}} =\)

д) \(\left(a - x + \dfrac{x^2}{a + x}\right) \cdot \dfrac{a - x}{a}=\)

\(=\left(\frac{a - x}{1} ^{\color{blue}{\backslash{a+x}}} + \dfrac{x^2}{a + x}\right) \cdot \dfrac{a - x}{a}=\)

\(=\frac{(a - x)(a+x)+x^2}{a+x} \cdot \dfrac{a - x}{a}=\)

\(=\frac{a^2 - \cancel{x^2}+\cancel{x^2}}{a+x} \cdot \dfrac{a - x}{a}=\)

\(=\frac{a^2}{a+x} \cdot \dfrac{a - x}{a}=\)

\(=\frac{a^{\cancel{2}}\cdot (a-x)}{(a+x) \cdot \cancel{a}} =\frac{a(a-x)}{a+x}\)

Пояснения:

Основные используемые правила:

1) Порядок действий:

если в выражении есть скобки, то сначала выполняют действия в скобках, а затем за скобками;

если в выражении нет скобок, то сначала выполняют умножение и деление по порядку слева направо, а затем сложение и вычитание, так по порядку слева направо.

2) Для сложения и вычитания дробей приводим их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель каждой дроби на необходимые множители. При этом, при приведении дробей к общему знаменателю, если возможно, раскладываем на множители знаменатели складываемых или вычитаемых дробей. Затем, чтобы получить общий знаменатель, составляем произведение из всех множителей без повторений, входящих в знаменатели складываемых или вычитаемых дробей.

3) Деление дробей выполняется умножением на обратную дробь:

\(\frac{A}{B} : \frac{C}{D} = \frac{A}{B}\cdot\frac{D}{C}= \frac{A\cdot D}{B\cdot C}.\)

4) Вынос общего множителя:

\(\displaystyle p\,a+p\,b=p(a+b).\)

5) Разность квадратов:

\(\displaystyle x^2-y^2=(x-y)(x+y).\)

6) Противоположные выражения:

\(a-b = -(b-a)\).

7) Разность кубов двух выражений:

\(a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2\).

8) Свойство дробей:

\(\frac{a}{b} = -\frac{-a}{b} = -\frac{a}{-b} =\frac{-a}{-b} \).

9) Сокращение дробей:

\(\frac{ka}{kb} = \frac{a}{b}\).

\(4{,}62;\ 3{,}(3);\ -2{,}75\ldots;\ -2{,}63\ldots\).

\(3{,}(3) = 3{,}333\ldots\)

В порядке возрастания:

\(-2{,}75 < -2{,}63 < 3,(3) < 4{,}62\)

Ответ: \(-2{,}75;\ -2{,}63;\ 3,(3);\ 4{,}62\).

Пояснения:

Порядок возрастания: от меньшего к большему.

При сравнении чисел сначала определяем знак. Отрицательные числа всегда меньше положительных.

Среди отрицательных чисел, чем меньше модуль числа, тем больше оно само:

\( -2{,}75 < -2{,}63 \)

Среди положительных чисел:

\( 3{,}(3) = 3{,}333\ldots < 4{,}62 \)

Итоговая последовательность в порядке возрастания:

\( -2{,}75 < -2{,}63 < 3{,}333\ldots < 4{,}62 \)