Упражнение 283 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\(a = 1{,}323223222\ldots\)

\(b = 2{,}313113111\ldots\)

\(a + b = 3,636336333\ldots\) - иррациональное число.

Ответ: сумма является иррациональным числом.

Пояснения:

Рациональное число — число, представимое в виде дроби \(\frac{m}{n}\), где \(m\) - целое число, а \(n\) — натуральное число. Каждое рациональное число можно представить в виде бесконечной периодической дроби.

Иррациональные числа — это числа с бесконечной непериодической десятичной записью.

Числа вида:

• \(1{,}3223223222\ldots\), где количество одинаковых цифр растёт и нет повторяющегося фрагмента — не обладают периодом → иррациональные;
• \(2{,}3131313111\ldots\), где увеличиваются группы единиц и нет повторения одного и того же фрагмента → тоже иррациональное число.

Сумма двух иррациональных чисел может быть как рациональной, так и иррациональной, но только в специальных случаях. Здесь таких закономерностей нет (проверили, вычислив сумму), и потому сумма

\(a + b\) — иррациональное число.

а) \(M(7{,}45)\) и \(K(1{,}15)\)

\( |MK| = |7{,}45 - 1{,}15| =\)

\(=|6{,}30| = 6{,}3. \)

б) \(M\left(-5\dfrac{1}{3}\right)\) и \(K\left(3\dfrac{2}{3}\right)\)

\( |MK| = \left|3\frac{2}{3} - \left(-5\frac{1}{3}\right)\right|=\)

\(=\left|\frac{11}{3} - \left(-\frac{16}{3}\right)\right| = \left|\frac{11}{3}+\frac{16}{3}\right| =\)

\(= \left|\frac{27}{3}\right| = |9|=9. \)

Пояснения:

Расстояние между точками на координатной прямой — это модуль разности их координат, то есть расстояния между двумя точками \(М(x_1\) и \(K(x_2)\) на координатной прямой:

\[ |MK| = |x_2 - x_1|. \]

Модуль всегда даёт положительное значение.

Для дробей важно привести их к одинаковому знаменателю, чтобы выполнить вычитание.