Упражнение 126 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\displaystyle \frac{5mn - m}{4m + n} \;\cdot\; \frac{16m^2 - n^2}{5n - 1}=\)

\(=\displaystyle \frac{m(5n-1)}{4m+n} \;\cdot\; \frac{(4m-n)(4m+n)}{5n-1} = \)

\(=\frac{m\cancel{(5n-1)}\cdot(4m-n)\cancel{(4m+n)}}{\cancel{(4m+n)}\cancel{(5n-1)}}=\)

\(=m\,(4m - n).\)

Если \(m=\frac14,\;n=-3\), то

\(\frac14\cdot\bigl(4\cdot\frac14 -(-3)\bigr) =\frac14\cdot\bigl(1+3\bigr)=\)

\(=\frac14\cdot4=1.\)

б) \(\displaystyle \frac{(x+2)^2}{3x+9} \;\cdot\; \frac{2x+6}{x^2-4}=\)

\(=\displaystyle \frac{(x+2)^2}{3(x+3)}\;\cdot\;\frac{2(x+3)}{(x-2)(x+2)} =\)

\(=\displaystyle \frac{(x+2)^{\cancel{2}}\cdot2\cancel{(x+3)}}{3\cancel{(x+3)}\cdot(x-2)\cancel{(x+2)}}=\)

\(=\frac{2\,(x+2)}{3\,(x-2)}.\)

Если при \(x=0{,}5\), то

\(\displaystyle \frac{2\cdot(0{,}5+2)}{3\cdot(0{,}5-2)} =\frac{2\cdot2{,}5}{3\cdot(-1{,}5)}=\)

\(=\frac{5}{-4{,}5}=-\frac{50}{45}=-\frac{10}{9} = -1\frac{1}{9}.\)

Если \(x=-1{,}5\), то

\(\displaystyle \frac{2\cdot(-1{,}5+2)}{3\cdot(-1{,}5-2)} =\frac{2\cdot0{,}5}{3\cdot(-3{,}5)}=\)

\(=\frac{1}{-10{,}5}=-\frac{10}{105}=-\frac{2}{21}.\)

Пояснения:

Использованные правила:

• Для умножения дробей перемножаем числители и знаменатели отдельно, при этом если возможно, сначала числители и знаменатели умножаемых дробей раскладываем на множители:

- разность квадратов двух выражений:

\(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\);

- вынесение общего множителя за скобки:

\(ka+kb=k(a+b)\);

- свойство степени:

\(a^nb^n=(ab)^n\).

• Сокращение: одинаковые множители в числителе и знаменателе сокращаются.

• После сокращения выполнили подстановку и вычисления.

а) \(\displaystyle \frac{mx^2 - my^2}{2m + 8}\;\cdot\;\frac{3m + 12}{my + mx} =\)

\(=\frac{m(x^2 - y^2)}{2(m + 4)}\;\cdot\;\frac{3(m + 4)}{m(x + y)} =\)

\(=\frac{\cancel{m}\,(x - y)\cancel{(x + y)}\cdot3\,\cancel{(m + 4)}}{2\,\cancel{(m + 4)} \cdot \cancel{m}\,\cancel{(x + y)}} =\)

\(=\frac{3(x - y)}{2}. \)

б) \(\displaystyle \frac{ax + ay}{x^2 - 2xy + y^2}\;\cdot\;\frac{x^2 - xy}{7x + 7y} =\)

\(=\frac{a(x + y)}{(x - y)^2}\;\cdot\;\frac{x(x - y)}{7(x + y)} =\)

\(=\frac{a\,\cancel{(x + y)}\cdot x\,\cancel{(x - y)}}{(x - y)^{\cancel{2}}\cdot 7\,\cancel{(x + y)}} =\)

\(=\frac{a\,x}{7\,(x - y)}. \)

в) \(\displaystyle \frac{x^3 - y^3}{x + y}\;\cdot\;\frac{x^2 - y^2}{x^2 + xy + y^2} =\)

\(=\frac{(x - y)(x^2 + xy + y^2)}{x + y}\;\cdot\;\frac{(x - y)(x + y)}{x^2 + xy + y^2} =\)

\(=\frac{(x - y)\,\cancel{(x^2 + xy + y^2)}\cdot(x - y)\,\cancel{(x + y)}}{\cancel{(x + y)}\cdot\cancel{(x^2 + xy + y^2)}} =\)

\(=(x - y)^2. \)

г) \(\displaystyle \frac{a^2 - 1}{a^3 + 1}\;\cdot\;\frac{a^2 - a + 1}{a^2 + 2a + 1} =\)

\(=\frac{(a - 1)(a + 1)}{(a + 1)(a^2 - a + 1)}\;\cdot\;\frac{a^2 - a + 1}{(a + 1)^2} =\)

\(=\frac{(a - 1)\cancel{(a + 1)}\cdot\cancel{(a^2 - a + 1)}}{\cancel{(a + 1)}\cancel{(a^2 - a + 1)}\cdot(a + 1)^2} =\)

\(=\frac{a - 1}{(a + 1)^2}. \)

Пояснения:

Использованные приёмы:

• Для умножения дробей перемножаем числители и знаменатели отдельно, при этом если возможно, сначала числители и знаменатели умножаемых дробей раскладываем на множители:

- разность квадратов двух выражений:

\(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\);

- вынесение общего множителя за скобки:

\(ka+kb=k(a+b)\);

- квадрат разности двух выражений:

\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\);

- квадрат суммы двух выражений:

\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\);

- разность кубов двух выражений:

\(a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\);

- сумма кубов двух выражений:

\(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\);

• Сокращение: одинаковые множители в числителе и знаменателе сокращаются.