Упражнение 125 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\displaystyle\frac{a^2-1}{a-b}\;\cdot\;\frac{7a-7b}{a^2+a}=\)

\(= \frac{(a-1)(a+1)}{a-b}\;\cdot\;\frac{7(a-b)}{a(a+1)} =\)

\(=\frac{(a-1)\,\cancel{(a+1)}\cdot7\cancel{(a-b)}}{\cancel{(a-b)}\cdot a\,\cancel{(a+1)}} =\)

\(=\frac{7(a-1)}{a}. \)

б) \(\displaystyle\frac{b^2+2bc}{b+3}\;\cdot\;\frac{5b+15}{b^2-4c^2}=\)

\( =\frac{b(b+2c)}{b+3}\;\cdot\;\frac{5(b+3)}{(b-2c)(b+2c)} =\)

\(=\frac{b\cancel{(b+2c)}\cdot5\cancel{(b+3)}}{\cancel{(b+3)}\cdot(b-2c)\,\cancel{(b+2c)}} =\)

\(=\frac{5b}{b-2c}. \)

в) \(\displaystyle\frac{(x+3)^2}{2x-4}\;\cdot\;\frac{x^2-4}{3x+9}=\)

\(= \frac{(x+3)^2}{2(x-2)}\;\cdot\;\frac{(x-2)(x+2)}{3(x+3)} =\)

\(=\frac{(x+3)^{\cancel{2}}\cdot\cancel{(x-2)}\,(x+2)}{2\cancel{(x-2)}\cdot3\,\cancel{(x+3)}} =\)

\(=\frac{(x+3)(x+2)}{6}. \)

г) \(\displaystyle\frac{(5-y)^2}{2y+12}\;\cdot\;\frac{y^2-36}{2y-10}=\)

\( =\frac{(y-5)^2}{2(y+6)}\;\cdot\;\frac{(y-6)(y+6)}{2(y-5)} =\)

\(=\frac{(y-5)^{\cancel{2}}\,(y-6)\,\cancel{(y+6)}}{2\cancel{(y+6)}\cdot2\cancel{(y-5)}} =\)

\(=\frac{(y-5)(y-6)}{4}. \)

Пояснения:

• Для умножения дробей перемножаем числители и знаменатели отдельно, при этом если возможно, сначала числители и знаменатели умножаемых дробей раскладываем на множители:

- разность квадратов двух выражений:

\(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\);

- вынесение общего множителя за скобки:

\(ka+kb=k(a+b)\);

- квадраты противоположных выражений:

\((a-b)^2=(b-a)^2\).

• Сокращение: одинаковые множители в числителе и знаменателе сокращаются.

а) \(\displaystyle \frac{a^2 - b^2}{a^2 - 3a}\;\cdot\;\frac{2a - 6}{b^2 + 2ab + a^2}=\)

\(= \frac{(a - b)(a + b)}{a(a - 3)} \;\cdot\; \frac{2(a - 3)}{(a + b)^2} =\)

\(=\frac{(a - b)\,\cancel{(a + b)}\cdot2\cancel{(a - 3)}}{a\,\cancel{(a - 3)}\cdot(a + b)^{\cancel{2}}} =\)

\(=\frac{2\,(a - b)}{a\,(a + b)}. \)

б) \(\displaystyle \frac{bx + 3b}{x^2 - 25}\;\cdot\;\frac{25 - 10x + x^2}{ax + 3a}=\)

\(= \frac{b\,(x + 3)}{(x - 5)(x + 5)} \;\cdot\; \frac{(x - 5)^2}{a\,(x + 3)} =\)

\(=\frac{b\,\cancel{(x + 3)}\cdot(x - 5)^{\cancel{2}}}{\cancel{(x - 5)}(x + 5)\cdot a\cancel{(x + 3)}} =\)

\(=\frac{b\,(x - 5)}{a\,(x + 5)}. \)

Пояснения:

Использованные приёмы:

• Для умножения дробей перемножаем числители и знаменатели отдельно, при этом если возможно, сначала числители и знаменатели умножаемых дробей раскладываем на множители:

- разность квадратов двух выражений:

\(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\);

- вынесение общего множителя за скобки:

\(ka+kb=k(a+b)\);

- квадрат разности двух выражений:

\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\);

- квадрат суммы двух выражений:

\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\);

- квадрат противоположных выражений:

\((a-b)^2 = (b-a)^2\).

• Сокращение: одинаковые множители в числителе и знаменателе сокращаются.