Упражнение 131 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\( \frac{a^2 - 4ac + 3bc}{a^2 - ab + bc - ac} + \frac{a + 3b}{b - a} + \frac{a + 2c}{a - c}= \)

\(= \frac{a^2 - 4ac + 3bc}{a(a-b) - c(a-b)} + \frac{a + 3b}{-(a-b)} + \frac{a + 2c}{a - c}= \)

\(= \frac{a^2 - 4ac + 3bc}{(a-b) (a- c)} - \frac{a + 3b}{(a-b)} ^{\color{blue}{\backslash{a-c}}}  + \frac{a + 2c}{a - c} ^{\color{blue}{\backslash{a-b}}}  = \)

\(= \frac{(a^2 - 4ac + 3bc)-(a+3b)(a-c)+(a+2c)(a-b)}{(a-b) (a- c)}=\)

\(= \frac{a^2 - 4ac + 3bc -(a^2-ac+3ab-3bc)+(a^2-ab+2ac-2bc)}{(a-b) (a- c)} =\)

\(= \frac{a^2 - 4ac + 3bc - \cancel{a^2}+ac-3ab+3bc+\cancel{a^2}-ab+2ac-2bc}{(a-b) (a- c)} =\)

\(= \frac{a^2 - ac - 4ab + 4bc}{(a-b) (a- c)} =\)

\(= \frac{a(a - c) - 4b(a - c)}{(a-b) (a- c)} =\)

\(= \frac{\cancel{(a - c)}(a - 4b)}{(a-b)\cancel{(a- c)}} =\frac{a - 4b}{a-b}. \)

Пояснения:

1)  Для сложения и вычитания дробей приводим их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель каждой дроби на необходимые множители. При приведении дробей к общему знаменателю, раскладываем на множители способом группировки знаменатель первой дроби. Для знаменателя второй применили следующие правила:

\(a-b = -(b-a)\);

\( \frac{A}{B} = -\frac{A}{-B}.\)

2) После приведения к общему знаменателю выполняем вычитание и сложение числителей, раскрывая скобки и приводя подобные члены. При раскрытии скобок применили правило умножения многочлена на многочлен:

\((a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd\).

3) Затем числитель полученной дроби разложили на множители способом группировки и сократили дробь на общий множитель числителя и знаменателя.

а) \( 3x + b = a \)

\(3x = a - b \)

\(x = \frac{a - b}{3}. \)

б) \( b - 7x = a - b \)

\(7x = b - a + b \)

\(7x = 2b-a \)

\(x = \frac{2b - a}{7}. \)

в) \( \frac{x}{a} + 1 = b \)

\(\frac{x}{a} = b - 1 \)   /\(\times(a)\)

\( x = a\,(b - 1). \)

г) \( b - \frac{x}{10} = a \)

\( \frac{x}{10} = b-a \)   /\(\times10\)

\( x = 10\,(b - a). \)

Пояснения:

1. Чтобы выразить \(x\) из уравнения, перенесли все члены без \(x\) на правую сторону с противоположным знаком.

2. При умножении или делении обеих частей равенства на одно и то же число сохраняется равенство.

3. В пунктах а) и б) после переноса получили уравнения вида \(ax = b\), откуда \(x = \frac{b}{a}\).

4. В пунктах в) и г) избавились от дроби с \(x\), умножив на знаменатель, затем выразили \(x\).