Упражнение 968 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Пусть первое нечетное число:

\(2n + 1, \) где \(n\) — целое число. Следующее по порядку нечётное число будет равно \(2n + 3. \)

\( (2n + 3)^2 - (2n + 1)^2=\)

\(= (4n^2 + 12n + 9) - (4n^2 + 4n + 1)= \)

\(=\cancel{4n^2} + 12n + 9 - \cancel{4n^2} - 4n - 1 =\)

\(=8n + 8 = 8\,(n + 1) \) - делится на 8.

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

— Любое нечётное число можно представить как \(2n + 1\), где \(n\) — целое.

— Следующее за \(2n+1\) нечётное число — это \((2n+1) + 2 = 2n+3\).

— Формула квадрата двучлена:

\( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2. \)

— Свойства степени:

\((ab)^n = a^nb^n\).

— Раскрытие скобок: если перед скобками стоит знак минус, то при их раскрытии знаки слагаемых меняем на противоположные.

Пошаговое объяснение:

1) Задание переменных: Пусть первое нечётное число \(2n + 1\).

2) Второе нечётное число: Тогда следующее нечётное число равно \(2n + 3\).

3) Вычисление квадратов:

\( (2n + 3)^2 =(2n)^2 + 2\cdot2n\cdot3 + 3^2 =\)

\(=4n^2 + 12n + 9\),

\((2n + 1)^2 =(2n)^2 +2\cdot 2n\cdot1 + 1^2=\)

\(=4n^2 + 4n + 1. \)

4) Разность квадратов:

\( (2n + 3)^2 - (2n + 1)^2 =\)

\(=(4n^2 + 12n + 9) - (4n^2 + 4n + 1) = \)

\(=8n + 8. \)

5) Вынесение множителя:

\( 8n + 8 = 8\,(n + 1). \)

6) Заключение:

Так как \(n + 1\) — целое, произведение \(8(n + 1)\) делится на 8. Значит, разность квадратов двух последовательных нечётных чисел делится на 8.

а) \((3x + 1)^3 = 27x^2(x + 1) + 8x + 2\)

\(27x^3 + 3 \cdot 9x^2 \cdot 1 + 3 \cdot 3x \cdot 1^2 + 1^3 = 27x^3 + 27x^2 + 8x + 2\)

\(\cancel{27x^3} + \cancel{27x^2} + 9x - \cancel{27x^3} - \cancel{27x^2} - 8x = 2 - 1\)

\( 9x - 8x = 2 - 1\)

\(x = 1 \)

Ответ: \(x = 1 \).

б) \(4x^2(2x + 9) = (2x + 3)^3 + 12(3x + 1)\)

\( 8x^3 + 36x^2 = 8x^3 + 3 \cdot 4x^2 \cdot 3 + 3 \cdot 2x \cdot 9 + 27 + 36x + 12\)

\( 8x^3 + 36x^2 = 8x^3 + 36x^2 + 54x + 27 + 36x + 12\)

\( \cancel{8x^3} + \cancel{36x^2} - \cancel{8x^3} - \cancel{36x^2} - 54x - 36x = 27 + 12\)

\(-90x=39\)

\( x = -\frac{39}{90} \)

\( x =-\frac{13}{30} \)

Ответ: \( x =-\frac{13}{30} \).

Пояснения:

Использованные правила и формулы:

1) \( (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \) - куб суммы двух выражений.

2) Умножение одночлена на многочлен:

\(a(b + c) = ab + ac\).

3) Корни уравнения не изменяются, если какое-либо слагаемое перенести из одной части уравнения в другую.

4) Линейное уравнение вида \(ax=b\) при \(a\neq0\) имеет единственный корень: \(x=\frac{b}{a}\).

— В обоих случаях сначала раскрываем степени и произведения, чтобы получить обычные многочлены.

— Затем приводим подобные, сокращаем противоположные члены и сводим решение к простому линейному уравнению.

— В результате получаем единственное решение каждого уравнения.