Упражнение 966 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(x^3 + x = 0\)

\(x\,(x^2 + 1) = 0 \)

\(x = 0\) или \(x^2 + 1 = 0 \)

                   \(x^2 = -1\) - нет решения.

Ответ: \(x = 0.\)

б) \(x^3 - 2x^2 = 0\)

\( x^2\,(x - 2) = 0 \)

\( x^2 = 0\) или \( x - 2 = 0\)

\(x = 0\)            \(x = 2\)

Ответ: \(x = 0\), \(x = 2.\)

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

— При решении уравнений часто можно найти общий множитель в каждом из членов:

\(ax + bx = (a + b)x\).

Вынеся этот множитель за скобки, мы понижаем степень оставшегося слагаемого и упрощаем уравнение.

— Формула разложения:

\( x^3 + x = x\,(x^2 + 1)\)

\(x^3 - 2x^2 = x^2\,(x - 2). \)

После этого каждое уравнение приводится к произведению множителей.

— Свойство нулевого произведения: если произведение нескольких множителей равно нулю: \( a_1 \cdot a_2 \cdots a_n = 0, \) то хотя бы один из множителей должен быть равен нулю. Это позволяет составить систему простейших уравнений \(a_i = 0\).

— В пункте а) уравнение

\(x\,(x^2 + 1) = 0\) даёт корень \(x = 0\). Уравнение \(x^2 + 1 = 0\) не имеет корней.

— В пункте б) уравнение

\(x^2\,(x - 2) = 0\) даёт корень \(x = 0\) и корень \(x = 2.\)

\( (a + b + c)^2 = \bigl((a + b) + c\bigr)^2 =\)

\(=(a + b)^2 + 2\,(a + b)\,c + c^2= \)

\(= a^2 + 2ab + b^2 + 2ac + 2bc + c^2=\)

\(= a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc. \)

Тождество доказано.

Пояснения:

1) Формула квадрата суммы двух слагаемых:

\( (u + v)^2 = u^2 + 2uv + v^2. \)

Мы применили её сначала к

\(\,(a + b) + c\), где \(u = (a + b)\), \(v = c\).

2) Формула квадрата двучлена:

\( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2. \)

Использована при раскрытии

\((a + b)^2\).

3) Раскрытие произведения:

\( 2\,(a + b)\,c = 2a\,c + 2b\,c. \)

Здесь просто умножили каждое слагаемое \((a + b)\) на \(c\) и потом на 2.

4) Перегруппировка:

После раскрытия скобок все полученные слагаемые \(a^2,\,b^2,\,c^2,\,2ab,\,2ac,\,2bc\) были собраны вместе в нужном порядке.