Упражнение 965 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(x^3 - x = 0\)

\( x(x^2 - 1) = 0 \)

\( x(x - 1)(x + 1) = 0 \)

\(x = 0\) или \(x - 1 = 0 \) или \( x + 1 = 0\)

                  \(x = 1\)                \(x = -1\)

Ответ: \(x = 0,\,1,\,{-1}.\)

б) \(9x - x^3 = 0\)

\( x(9 - x^2) = 0 \)

\( x(3 - x)(3 + x) = 0 \)

\( x = 0\) или \(3 - x = 0 \) или \(3 + x = 0\)

                   \(x = 3\)               \(x = -3\)

Ответ: \(x = 0,\,3,\,{-3}.\)

в) \(x^3 + x^2 = 0\)

\( x^2(x + 1) = 0 \)

\(x^2 = 0 \) или \(x + 1 = 0\)

\(x = 0\)          \(x = -1\)

Ответ: \(x = 0,\,{-1}.\)

г) \(5x^4 - 20x^2 = 0\).

\( 5x^2\bigl(x^2 - 4\bigr) = 0 \)

\(5x^2(x - 2)(x + 2) = 0 \)

\(5x^2 = 0\) или \(x - 2 = 0\) или \( x + 2 = 0\)

\(x^2 = 0 \)          \(x = 2\)               \(x = -2\)

\(x = 0\)

Ответ: \(x = 0,\,2,\,{-2}.\)

Пояснения:

1) Вынесение общего множителя:

При решении уравнений часто можно найти общий множитель в каждом из членов. Вынеся этот множитель за скобки, мы понижаем степень оставшегося слагаемого и упрощаем уравнение.

2) Формула разности квадратов:

Если после вынесения множителя остается выражение вида \(a^2 - b^2\), то его можно разложить на множители как \((a - b)(a + b)\).

3) Свойство нулевого произведения:

Если произведение нескольких множителей равно нулю: \( a_1 \cdot a_2 \cdots a_n = 0, \) то хотя бы один из множителей должен быть равен нулю. Это позволяет составить систему простейших уравнений \(a_i = 0\).

4) Свойства уравнений: корни уравнения не изменяются, если какое-либо слагаемое перенести из одной части уравнения в другую.

а) \(83^4 + 65\) кратно \(81\)

\(83^4 + 65 = (81 + 2)^4 + 65 =\)

\(=81^4 + 4 \cdot 81^3 \cdot 2+ 6 \cdot 81^2 \cdot 2^2 + 4 \cdot 81 \cdot 2^3 + 2^4 + 65= \)

\(=81^4 + 8 \cdot 81^3 + 24 \cdot 81^2 + 32 \cdot 81 + 16 + 65= \)

\(=81^4 + 8 \cdot 81^3 + 24 \cdot 81^2 + 32 \cdot 81 + 81= \)

\(=81\cdot(81^3 + 8 \cdot 81^2 + 24 \cdot 81 + 32 + 1) \) - кратно \(81\).

Что и требовалось доказать.

б) \(141^{10} + 88\) кратно \(139.\)

\(141^{10} + 88 = (139 + 2)^{10} + 88= \)

\(=139^{10} + ... + 2^{10} + 88 = \)

\(= 139^{10} + ... + 1024 + 88 =\)

\(=139^{10} + ... + 1112 =\)

\(=139\cdot(139^9 + ... + 8)\) - кратно \(139\).

Что и требовалось доказать.

Пояснения:

При записи формулы двучлена

\(a + b\) в степени \(n\), первый член получаемого многочлена равен \(a^n\) и \(b^0\). Далее при переходе к каждому последующему члену показатель степени \(a\) уменьшается на 1, а показатель степени \(b\) увеличивается на 1, т.е. сумма показателей степеней в каждом слагаемом равна \(n\).

Для определения коэффициентов получаемого многочлена, используют треугольник Паскаля. В треугольнике Паскаля "боковые стороны" состоят из единиц, а каждое из остальных чисел равно сумме двух чисел, записанных над ним.

Строки треугольника Паскаля определяют коэффициенты многочлена в формуле для данной степени \(n\).

а) Коэффициенты двучлена четвертой степени равны:

1; 4; 6; 4; 1.

Тогда \(83^4 = (81 + 2)^4\) можно разложить по формуле с помощью треугольника Паскаля. В результате в рассматриваемом выражении слагаемые, начиная с первого до четвертого, содержат хотя бы одну степень 81 (то есть множитель 81), также пятое и шестое слагаемые в сумме дают 81, следовательно, у всех слагаемых можно вынести за скобки общий множитель 81. В полученном произведении один из множителей равен 81, значит, произведение кратно 81.

б) Рассуждаем аналогично пункту а).