Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№970 учебника 2023-2025 (стр. 191):
Упростите выражение и найдите его значение при указанном значении переменной:
а) \(\;(6x - 1)(6x + 1)-(12x - 5)(3x + 1)\) при \(x = 0{,}2;\)
б) \(\;(5 + 2x)^2-2{,}5x(8x + 7)\) при \(x = -0{,}5.\)
№970 учебника 2013-2022 (стр. 193):
Представьте в виде квадрата двучлена или в виде выражения, противоположного квадрату двучлена:
а) \(a^4 - 8a^2 + 16;\)
б) \(-4 - 4b - b^2;\)
в) \(10x - x^2 - 25;\)
г) \(c^4d^2 + 1 - 2c^2d;\)
д) \(a^6b^2 + 12a^3b + 36;\)
е) \(x + 1 + \frac{1}{4}x^2;\)
ж) \(y - y^2 - 0{,}25;\)
з) \(9 - m + \frac{1}{36}m^2;\)
и) \(-25 - 2n - 0{,}04n^2.\)
№970 учебника 2023-2025 (стр. 191):
Вспомните:
№970 учебника 2013-2022 (стр. 193):
Вспомните:
№970 учебника 2023-2025 (стр. 191):
а) \( (6x - 1)(6x + 1) - (12x - 5)(3x + 1)= \)
\(=36x^2 - 1 - (36x^2 + 12x - 15x - 5) =\)
\(= \cancel{36x^2} - 1 - \cancel{36x^2} - 12x + 15x + 5 = \)
\(=3x + 4. \)
Если \(x = 0{,}2\), то:
\(3 \cdot 0{,}2 + 4 = 0{,}6 + 4 = 4{,}6. \)
б) \(\;(5 + 2x)^2-2{,}5x(8x + 7)=\)
\(=25 + 20x + 4x^2 - 20x^2 - 17{,}5x= \)
\(= -16x^2 + 2{,}5x + 25.\)
Если \(x = -0{,}5\), то:
\( -16 \cdot ( -0{,}5)^2 + 2{,}5 \cdot ( -0{,}5 ) + 25 =\)
\(=-16 \cdot 0{,}25 - 1{,}25 + 25 = \)
\(=-4 - 1{,}25 + 25 = 19{,}75. \)
Пояснения:
1) Формула разности квадратов:
\( (a - b)(a + b) = a^2 - b^2. \)
В пункте (а) применили к \((6x - 1)(6x + 1)\).
2) Умножение многочлена на многочлен:
\((a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd\).
Использовали при умножении
\((12x - 5)(3x + 1)\).
3) Квадрат суммы двух выражений:
\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.\)
Использовали при вычислении
\((5 + 2x)^2\).
4) Свойство степени:
\((ab)^n = a^nb^n\).
5) Умножение одночлена на многочлен:
\(a(b+c) = ab + ac\).
Использовали при вычислении:
\(2{,}5x(8x + 7)\).
6) Приведение подобных членов:
После раскрытия скобок складываем или вычитаем члены с одинаковыми степенями переменной. Например, в (а) после раскрытия получилось
\(36x^2 - 1 - (36x^2 - 3x - 5)\),
где \(36x^2\) сократились.
7) Вычитание многочленов:
При вычислении разности каждый член вычитаемого многочлена меняет знак. В пункте (а) после раскрытия скобок получили
\((36x^2 - 1) - (36x^2 - 3x - 5) = \)
\(=36x^2 - 1 - 36x^2 + 3x + 5.\)
8) Подстановка значения переменной:
После полного упрощения многочлена подставляем \(x = 0{,}2\) в результат пункт (а) и \(x = -0{,}5\) в результат пункт (б), вычисляем по порядку:
— сначала возведение в квадрат,
— затем умножение на коэффициенты,
— затем сложение/вычитание.
№970 учебника 2013-2022 (стр. 193):
а) \( a^4 - 8a^2 + 16 = \)
\(=(a^2)^2 - 2\cdot a^2\cdot 4 + 4^2 =\)
\(=(a^2 - 4)^2. \)
б) \( -4 - 4b - b^2 =\)
\(=-\bigl( 2^2 + 4b + b^2\bigr) \)
\(= -(2 + b)^2. \)
в) \( 10x - x^2 - 25 = \)
\(=-\bigl(x^2 - 10x + 25\bigr) =\)
\(=-(x - 5)^2. \)
г) \( c^4d^2 + 1 - 2c^2d = \)
\(=(c^2d)^2 - 2\cdot (c^2d)\cdot 1 + 1^2 =\)
\(=(c^2d - 1)^2. \)
д) \( a^6b^2 + 12a^3b + 36 =\)
\(=(a^3b)^2 + 2\cdot (a^3b)\cdot 6 + 6^2 =\)
\(=(a^3b + 6)^2. \)
е) \( x + 1 + \frac{1}{4}x^2 =\)
\(=(\frac{1}{2}x)^2 + 2\cdot\frac{1}{2}x + 1 =\)
\(= \bigl(\frac{1}{2}x + 1\bigr)^2. \)
ж) \( y - y^2 - 0{,}25 =\)
\(=-\bigl(y^2 - 2\cdot{y}\cdot0,5 + 0{,}5^2\bigr) =\)
\(= -(y - 0,5)^2. \)
з) \( 9 - m + \frac{1}{36}m^2 =\)
\(=3^2 - 2\cdot3\cdot\frac{1}{6}m + (\frac{1}{6}m)^2=\)
\(=(3-\frac{1}{6}m)^2.\)
и) \( -25 - 2n - 0{,}04n^2 =\)
\(=-(5^2 + 2\cdot5\cdot0,2n+(0,2n)^2)=\)
\(=-(5 + 0,2n)^2).\)
Пояснения:
Использованные правила и приемы:
1) Квадрат суммы двух выражений:
\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).
2) Квадрат разности двух выражений:
\((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).
3) Свойства степени:
\((a^nb^n=(ab)^n\),
\((a^m)^n=a^{mn}\).
4) Противоположные выражения:
\(-(a + b) = -a - b\).
Вернуться к содержанию учебника