Упражнение 654 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( \frac{6y+7}{4} + \frac{8-5y}{3} = 5;\)      \(|\times12\)

\( 3(6y+7) + 4(8-5y) = 60;\)

\(18y + 21 + 32 - 20y = 60;\)

\(-2y + 53 = 60;\)

\(-2y= 60-53;\)

\(-2y = 7;\)

\(y = -\frac{7}{2};\)

\(y = -3,5.\)

Ответ: \(y = -3,5.\)

б) \( \frac{5a - 1}{3} = \frac{2a - 3}{5} - 1;\)      \(|\times15\)

\( 5(5a - 1) = 3(2a - 3) - 15;\)

\(25a - 5 = 6a - 9 - 15;\)

\(25a - 5 = 6a - 24;\)

\(25a - 6a = -24 + 5;\)

\(19a = -19;\)

\(a = -\frac{19}{19}; \)

\(a = -1. \)

Ответ: \(a = -1. \)

в) \( \frac{11x - 4}{7} - \frac{x - 9}{2} = 5;\)       \(|\times14\)

\(2(11x - 4) - 7(x - 9) = 70;\)

\(22x - 8 - 7x + 63 = 70;\)

\(15x + 55 = 70;\)

\(15x = 15;\)

\(x=\frac{15}{15};\)

\(x = 1. \)

Ответ: \(x = 1. \)

г) \( \frac{2c - 1}{9} + \frac{c}{4} = \frac{c + 3}{6};\)      \(|\times12\)

\(4(2c - 1) + 9c = 6(c + 3);\)

\(8c - 4 + 9c = 6c + 18;\)

\(17c - 4 = 6c + 18;\)

\(17c - 6c = 18 + 4;\)

\(11c = 22;\)

\(c=\frac{22}{11};\)

\( c = 2. \)

Ответ: \( c = 2. \)

д) \(\frac{3p-1}{24} - \frac{2p+6}{36} - 1 = 0;\)      \(|\times72\)

\(72\!\bigl(\frac{3p-1}{24} - \frac{2p+6}{36} - 1\bigr) = 0;\)

\(3(3p-1) - 2(2p+6) - 72 = 0;\)

\(9p - 3 - 4p - 12 - 72 = 0;\)

\(5p - 87 = 0;\)

\(5p = 87;\)

\(p = \frac{87}{5};\)

\(p = 17,4.\)

Ответ: \(p = 17,4.\)

е) \(\displaystyle 5 - \frac{1-2x}{4} = \frac{3x+20}{6} + \frac{x}{3};\)      \(|\times12\)

\(12\!\bigl(5 - \frac{1-2x}{4}\bigr) = 12\!\bigl(\frac{3x+20}{6} + \frac{x}{3}\bigr);\)

\(60 - 3(1-2x) = 2(3x+20) + 4x;\)

\(60 - 3 + 6x = 6x + 40 + 4x;\)

\(57 + 6x = 10x + 40;\)

\(6x -10x = 40 - 57;\)

\(-4x = -17;\)

\(x = \frac{17}{4};\)

\(x = 4,25.\)

Пояснения:

Во всех пунктах первым шагом умножаем обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей, чтобы «сократить» дроби и перейти к линейному уравнению без дробей.

Далее раскрываем скобки (если есть), приводим подобные слагаемые. Слагаемые, содержащие переменную, переносим влево, остальные - вправо, если есть подобные - приводим. Данные шаги позволяют получить линейное уравнение вида \(a\,x = b\), корень которого: \(x = \frac{b}{a}\).

а) \(mx + my = m(x + y)\);

\(m(x + y) = mx + my\).

б) \(kx - px = (k - p)x\); 

\((k - p)x = kx - px\).

в) \(-ab + ac = a(-b + c)\);

\(a(-b + c) = -ab + ac\).

г) \(-ma - na = -a(m + n)\);

\(-a(m + n) = -ma - na\).

Пояснения:

Использованные правила и формулы:

1) Распределительный закон (дистрибутивность):
\[a(b + c) = ab + ac\]

2) Обратный распределительный закон (вынос общего множителя):
\[ab + ac = a(b + c)\]

3) Свойство выноса общего минус-знака за скобки:
\[-x - y = -(x + y)\]

Подзадача а): в выражении \(mx + my\) оба слагаемых содержат общий множитель \(m\). Мы выносим \(m\) за скобку и получаем \(m(x+y)\). Для проверки раскрываем скобку: \(m(x+y)=mx+my\), что совпадает с исходным выражением.

Подзадача б): здесь оба слагаемых содержат множитель \(x\). При выносе \(x\) вперед получается \((k-p)x\). При проверке раскрываем скобку: \((k-p)x=kx-px\).

Подзадача в): в выражении \(-ab+ac\) общий множитель \(a\). Выносим \(a\) за скобку, внутри остаётся \(-b+c\), то есть \(a(-b+c)\). При раскрытии: \(a(-b+c)=-ab+ac\).

Подзадача г): оба слагаемых \(-ma\) и \(-na\) имеют общий множитель \(-a\). Получаем \(-a(m+n)\). Проверка: \(-a(m+n) = -ma - na\).