Упражнение 1128 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Пусть \(x\) (км/ч) собственная скорость лодки в стоячей воде, а \(y\) (км/ч) — скорость течения. Тогда скорость по течению \(x+y\) (км/ч), а против течения \(x-y\) (км/ч).

Составим систему уравнений:

\( \begin{cases} 4(x+y)=5(x-y),\\ 3,5(x+y) = 70. \end{cases} \)

\( \begin{cases} 4x+4y=5x-5y,\\ 3,5x+3,5y = 70. \end{cases} \)

\( \begin{cases} 4x - 5x+4y+ 5y=0,\\ 3,5x+3,5y = 70   / : 3,5 \end{cases} \)

\( \begin{cases} -x+9y=0,\\ x+y = 20 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 10y=20,\\ x+y = 20 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y=\frac{20}{10},\\ x= 20-y \end{cases} \)

\( \begin{cases} y=2,\\ x= 20 - 2 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y=2,\\ x= 18 \end{cases} \)

Ответ: скорость лодки в стоячей воде \(x = 18\) км/ч.

Пояснения:

Использованные приёмы:

1) Введение переменных: \(x\) — собственная скорость лодки, \(y\) — скорость течения.

2) Составление системы уравнений. Чтобы найти расстояние, нужно скорость движения умножить на время в пути.

3) Раскрытие скобок, используя распределительное свойство умножения:

\(a(b+c)=ab+ac\).

4) Перенос членов из одной части уравнения в другую:

если \(a+b=c+d\), то \(a-d=c-b\).

5) Приведение подобных членов при преобразовании каждого уравнения:

\(ax + bx = (a + b)x\).

6) Решение системы методом сложения: складываем почленно уравнения системы так, чтобы в новом уравнении исчезла одна из переменных. Там, где необходимо, одно из уравнений или оба уравнения делим или умножаем на числа так, чтобы перед одной из переменных получить противоположные коэффициенты, которые при сложении приведут к сокращению выражений с этой переменной.

7) После сложения уравнений системы получается линейное уравнение с одной переменной, решение которого дает значение этой переменной.

8) Уравнение вида \(ax = b\) называется линейным и при \(a \neq 0\) имеет единственный корень \(x=\frac{b}{a}\).

9) Подстановка: после нахождения одной переменной подставляем её значение в одно из исходных уравнений для вычисления значения второй переменной.

1) \(y = \tfrac{1}{3}x\)

а) \(y > \tfrac{1}{3}x\)

б) \(y < \tfrac{1}{3}x\)

Пояснения:

Используемые приёмы:

1) Для линейного уравнения \(y = kx + b\) достаточно найти две точки и провести через них прямую. Значения \(x\) берем произвольно, подставляем их в уравнение прямой и находим соответствующие значения \(y\).

2) Для неравенства \(y > kx + b\) (или \(y < kx + b\)) определяют области над (под) прямой, для этого можно проверить одну тестовую точку не на линии.

а) \(y > \tfrac{1}{3}x\) - над прямой.

Точка \((0,1)\):  

\( 1 > \tfrac{1}{3}\cdot0\) - верно.

б) \(y < \tfrac{1}{3}x\) - под прямой.

Точка \((0,-1)\):

\( -1 < \tfrac{1}{3}\cdot0\) - верно.

3) Саму границу (прямую) при строгом неравенстве штриховкой не закрашивают (точки на ней не удовлетворяют неравенству).