Угол между векторами

Пусть нам даны векторы и . Отложим от произвольной точки О векторы = и =:

В том случае если данные векторы и не являются сонаправленными, лучи ОА и ОВ образуют угол АОВ. Угол между векторами и равен , где - градусная мера угла АОВ. То есть углом между двумя векторами, отложенными от одной точки, называется кратчайший угол, на который нужно повернуть один из векторов вокруг своего начала до положения сонаправленности с другим вектором. При этом - не зависит от выбора точки О, от которой откладываются векторы и . Действительно, отложим векторы и от произвольной точки О₁. Мы знаем, что  векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны, т.е. равные векторы лежат либо на одной прямой либо на параллельных прямых, поэтому  и  . При этом если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны, значит, как соответственные углы при пересечении параллельных прямых  и  секущей  . Аналогично, , следовательно, , т.е. угол между векторами не зависит от выбора точки, от которой откладываются векторы. В случае если векторы и являются сонаправленными (частный случай: один из векторов или оба нулевые), тогда угол между данными векторами будем считать равным 0⁰.

Угол между векторами и обозначается так: .

Для примера рассмотрим следующий рисунок:

= 45⁰, = 90⁰, = 135⁰, = 180⁰. Если угол между двумя векторами равен 90⁰, то они называются перпендикулярными, т.е , , .