Теорема синусов

  Теорема

Доказательство

Дано: АВС, АВ = , ВС = , АС = .

Доказать: .

Доказательство:

По теореме о площади треугольника:

, (1)      , (2)      . (3)

Из равенств (1) и (2) получим:

, откуда или .  (4)

Из равенств (2) и (3) получим:

, откуда или .   (5)

Из равенств (4) и (5) следует:

.

Теорема доказана.

Замечание

Доказательство

Дано: окр(О, R) описана около АВС.

Доказать: .

Доказательство:

Проведем диаметр ВА₁ и рассмотрим треугольник А₁ВС.

Угол С АВС опирается на диаметр ВА₁, поэтому С - прямой, тогда (6) (смотри формулы для вычисления координат точки). Но . Действительно, если точка А₁ лежит на дуге ВАС (см. рисунок выше), то А₁ = А, а если на дуге ВDС (см. рисунок ниже), то

А₁ = 180⁰ - А. В обеих случаях .

Следовательно, учитывая (6), получим:

, при этом диаметр ВА₁ = 2R, значит, , откуда . Что и требовалось доказать.

Из доказанного выше замечания получаем, что для любого АВС со сторонами АВ = , ВС = , АС = справедливы равенства

,

где R - радиус описанной окружности.