Скалярное произведение в координатах

Теорема

Доказательство

Дано: ,

Доказать:

Доказательство:

Каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала, поэтому если хотя бы один из векторов нулевой, то справедливость равенства очевидна, так как координаты нулевого вектора равны нулю.

Рассмотрим ненулевые векторы и . Отложим от произвольной точки О векторы = и = :

1 случай: векторы и не коллинеарны:

Тогда по теореме косинусов получаем

.      (2)

2 случай: векторы и сонаправленные:

Тогда и получаем, что

3 случай: векторы и противоположно направленные:

Тогда и получаем, что

Итак, мы получили, что равенство (2) верно для любых двух ненулевых векторов и .

Так как = - , = , = , то равенство (2) можно записать следующим образом:

Следовательно,

Вектора имеют следующие координаты , и ( - ), при этом длина вектора равна квадратному корню из суммы квадратов координат данного вектора, поэтому

,

Учитывая это, получаем

Итак, , что и требовалось доказать. Теорема доказана.

Следствие 1

Ненулевые векторы   и  перпендикулярны тогда и только тогда, когда  .

Следствие 2