Скалярное произведение в координатах

Теорема

В прямоугольной системе координат скалярное произведение векторов    и  выражается формулой 

      (1)

Доказательство

Дано: ,

Доказать:

Доказательство:

Каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала, поэтому если хотя бы один из векторов нулевой, то справедливость равенства очевидна, так как координаты нулевого вектора равны нулю.

Рассмотрим ненулевые векторы и . Отложим от произвольной точки О векторы = и = :

1 случай: векторы и не коллинеарны:

Тогда по теореме косинусов получаем

.      (2)

2 случай: векторы и сонаправленные:

Тогда и получаем, что

3 случай: векторы и противоположно направленные:

Тогда и получаем, что

Итак, мы получили, что равенство (2) верно для любых двух ненулевых векторов и .

Так как = - , = , = , то равенство (2) можно записать следующим образом:

Следовательно,

Вектора имеют следующие координаты , и ( - ), при этом длина вектора равна квадратному корню из суммы квадратов координат данного вектора, поэтому

,

Учитывая это, получаем

Итак, , что и требовалось доказать. Теорема доказана.

Следствие 1

Ненулевые векторы   и  перпендикулярны тогда и только тогда, когда  .

Следствие 2

Косинус угла  между ненулевыми векторами и выражается формулой

.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

Синус, косинус, тангенс, котангенс

Основное тригонометрическое тождество. Формулы приведения.

Формулы для вычисления координат точки

Теорема о площади треугольника

Теорема синусов

Теорема косинусов

Решение треугольников

Измерительные работы

Угол между векторами

Скалярное произведение векторов

Свойства скалярного произведения векторов

Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Задание 1044, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 18, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 20, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1073, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник