Скалярное произведение векторов

Определение

Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними.

Пусть нам даны векторы и , тогда их скалярное произведение будет обозначаться так: или .

Из определения мы можем записать:

             (1)

Утверждение:

Скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны.

Доказательство:

Пусть , т.е. = 900, тогда , а, значит, = 0.

Пусть и ненулевые, при этом = 0, тогда из равенства (1) получаем, что , а, значит, = 900, т.е. . Следовательно, утверждение верно.

Так как при ( при ) тогда из формулы (1) следует, что скалярное произведение ненулевых векторов и положительно (отрицательно) тогда и только тогда, когда ().

Пусть векторы и будут являться сонаправленными, тогда угол между ними будет равен 00 и , тогда из формулы (1) получим . Частным случаем является произведение вектора на себя, т.е.

Скалярное произведение называется скалярным квадратом вектора и обозначается . Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

Синус, косинус, тангенс, котангенс

Основное тригонометрическое тождество. Формулы приведения.

Формулы для вычисления координат точки

Теорема о площади треугольника

Теорема синусов

Теорема косинусов

Решение треугольников

Измерительные работы

Угол между векторами

Скалярное произведение в координатах

Свойства скалярного произведения векторов

Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Задание 1041, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1042, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1051, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1054, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 16, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 17, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 21, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 22, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1068, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1069, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник