Теорема косинусов

Теорема

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон, умноженное на косинус угла между ними.

Доказательство

Дано: АВС, АВ = , ВС = , АС = .

Доказать: .   (1)

Доказательство:

Введем прямоугольную систему координат с началом в точке А так, чтобы точка В лежала на положительной полуоси , а точка С имела положительную ординату.

Точка В имеет координаты (; 0).

Точка С имеет координаты (; ) (смотри формулы для вычисления координат точки).

По формуле расстояния между двумя точками получаем:

(При выполнении вычислений мы использовали основное тригонометрическое тождество: ).

Теорема доказана.


Теорему косинусов еще называют обобщенной теоремой Пифагора. Такое название объясняется тем, что в теореме косинусов содержится как частный случай теорема Пифагора. В самом деле, если в АВС угол А прямой, то и по формуле (1) получаем , т.е. квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов (теорема Пифагора).

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

Синус, косинус, тангенс, котангенс

Основное тригонометрическое тождество. Формулы приведения.

Формулы для вычисления координат точки

Теорема о площади треугольника

Теорема синусов

Решение треугольников

Измерительные работы

Угол между векторами

Скалярное произведение векторов

Скалярное произведение в координатах

Свойства скалярного произведения векторов

Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Задание 1025, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1031, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1048, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1054, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1062, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1065, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1070, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1199, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1241, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1304, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник