Решение треугольников

Решение треугольника - это нахождение всех его шести элементов (т.е. трех сторон и трех углов) по каким-нибудь трем данным элементам, определяющим треугольник.

Введем обозначения для сторон АВС: АВ = , ВС = , СА = .

Далее рассмотрим задачи на решение треугольников с использованием данных обозначений.

Задача 1

Дано: , , С.

Найти: , А, В.

Решение:

1. По теореме косинусов: , откуда .

2. По теореме косинусов: , откуда , следовательно, . Далее угол А находим с помощью микрокалькулятора или по таблице.

3. По теореме о сумме углов треугольника: А + В + С = 180⁰. Следовательно, В = 180⁰ - (А + С) или В = 180⁰ - А - С.

Задача 2

Дано: ,  В, С.

Найти:  А, , .

Решение:

1. По теореме о сумме углов треугольника: А + В + С = 180⁰. Следовательно, А = 180⁰ - (В + С) или А = 180⁰ - В - С.

2. По теореме синусов: , откуда .

3. По теореме синусов: , откуда .

Задача 3

Дано: , , .

Найти: А, В, С.

Решение:

1. По теореме косинусов: , откуда , следовательно, . Далее угол А находим с помощью микрокалькулятора или по таблице.

2. По теореме косинусов: , откуда , следовательно, . Далее угол В находим с помощью микрокалькулятора или по таблице.

3. По теореме о сумме углов треугольника: А + В + С = 180⁰. Следовательно, С = 180⁰ - (А + В) или С = 180⁰ - А - В.

Пример

Стороны АВ, ВС и АС треугольника АВС соответственно равны 20 м, 14 м и 18 м. Определите значение угла А.

Решение:

По условию задачи = АВ = 20 м, = АС = 18 м, = ВС = 14 м.

Следовательно, мы можем решить данный треугольник по трем сторонам (см. задачу 3), значит, найти угол А.

По теореме косинусов: , откуда , следовательно,

.

По таблице Брадиса находим угол А: .