Среднее пропорциональное

Среднее пропорциональное положительных чисел и - это такое число , которое равно квадратному корню из произведения этих чисел, т.е. .

Среднее пропорциональное носит такое название, потому что число является средним членом пропорции .

Средним пропорциональным (или средним геометрическим) двух отрезков и , называется такой отрезок , что: .

Чтобы построить среднее пропорциональное двух отрезков используют циркуль и линейку.

Ход построения:

Пусть нам даны два отрезка и , строим их.

Затем строим с помощью линейки прямую , отмечаем на ней точку А и строим отрезок АЕ, равный отрезку . Для этого строим с помощью циркуля окружность радиуса с центром А (полностью окружность строить необязательно, смотри выделенное красным цветом). Затем, аналогично строим отрезок ЕВ, равный отрезку .

Далее найдем середину отрезка АВ. Для этого строим две окружности с центрами А и В так, чтобы они пересекались в двух точках (полностью окружности строить необязательно, смотри выделенное синим и зеленым цветом). Через точки пересечения данных окружностей проводим прямую, которая пересечет отрезок АВ в его середине О.

Теперь строим окружность с центром О радиуса ОА.

Затем построим перпендикуляр к прямой так, чтобы он проходил через точку Е, которая делит отрезок АВ в отношении .  Для этого строим окружность произвольного радиуса с центром Е (полностью окружность строить необязательно, смотри выделенное фиолетовым цветом), данная окружность пересечет прямую в двух точках М и В (точку В мы берем как точку пересечения данной окружности и данной прямой для того, чтобы не добавлять на рисунке лишние элементы, но важно помнить, что точки пересечения окружности с центром Е и прямой  могут быть и другие, все зависит от того, каким мы возьмем радиус окружности с центром Е). Далее строим две окружности с центрами М и В так, чтобы они пересекались в двух точках (полностью окружности строить необязательно, смотри выделенное синим и зеленым цветом). Через точки пересечения данных окружностей проводим прямую, которая будет перпендикулярна к прямой и пересечет окружность с центром О в точке К.

Длина отрезка ЕК и есть искомый отрезок , равный среднему пропорциональному отрезков и , т.е. или .