Упражнение 870 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\(a_1, a_2, a_3, a_4\) - арифметическая прогрессия.

Пусть \(a_4\) - наибольший член этой прогрессии, тогда по условию:

\[ a_4=a_1^2+a_2^2+a_3^2 \]

Пусть арифметическая прогрессия имеет разность \(d\), тогда:

\(a_1=a\)

\( a_2=a+d\)

\(a_3=a+2d\)

\(a_4=a+3d \)

Подставим выражения:

\( a+3d=a^2+(a+d)^2+(a+2d)^2 \)

\( a+3d=a^2+(a^2+2ad+d^2)+\)

\(+(a^2+4ad+4d^2) \)

\[ a+3d=3a^2+6ad+5d^2 \]

\(\small 3a^2+6ad+5d^2-a-3d=0 \)

\(\small 3a^2+(6d-1)a+(5d^2-3d)=0 \)

Так как члены прогрессии — целые числа, подберём целые значения \(d\).

Пусть \(d=1\):

\[3a^2+6a+5-a-3 =0\]

\[ 3a^2+5a+2 =0\]

\[ 3a^2+5a+2=0 \]

\(D=5^2-4\cdot3\cdot2=\)

\(=25-24=1>0\) - 2 корня.

\(\sqrt{D}=1\)

\(a_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a'}\)

\(a_{1}=\frac{-5+1}{2\cdot3}=\frac{-4}{6}=-\frac{2}{3}.\)

\(a_{2}=\frac{-5-1}{2\cdot3}=\frac{-6}{6}=-1.\)

\( 3a^2+5a+2=\)

\(=3\bigg(a+\frac{2}{3}\bigg)(a+1)=\)

\(=(3a+2)(a+1)=0\)

Пусть:

\( a=-1 \)

Тогда члены прогрессии:

\[ a_1=-1 \]

\[ a_2=0 \]

\[ a_3=1 \]

\[ a_4=2 \]

Проверка:

\[ (-1)^2+0^2+1^2=1+0+1=2 \]

\[ a_4=2 \]

Условие выполняется.

Ответ: \( -1,\;0,\;1,\;2 \)

Пояснения:

Сначала вспомним основные свойства арифметической прогрессии.

Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый следующий член получается прибавлением одного и того же числа \(d\), называемого разностью прогрессии:

\[ a_{n+1}=a_n+d \]

Поэтому четыре последовательных члена можно записать через первый член и разность:

\[ a_1=a,\quad a_2=a+d,\quad a_3=a+2d,\quad a_4=a+3d \]

В условии сказано, что наибольший член равен сумме квадратов остальных членов. Так как прогрессия возрастающая, наибольший член — это \(a_4\).

Поэтому составляем уравнение:

\[ a_4=a_1^2+a_2^2+a_3^2 \]

После подстановки выражений получаем уравнение с двумя переменными \(a\) и \(d\). Далее раскрываем скобки по формуле квадрата суммы:

\[ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \]

После раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых получается квадратное уравнение.

Так как все члены прогрессии должны быть целыми числами, удобно рассматривать целые значения разности \(d\). При \(d=1\) получается уравнение

\[ 3a^2+5a+2=0 \]

Оно раскладывается на множители:

\[ (3a+2)(a+1)=0 \]

Целое решение даёт \(a=-1\). Подставляя его в формулы членов прогрессии, получаем последовательность

\[ -1,\;0,\;1,\;2 \]

Проверка показывает, что квадрат первого, второго и третьего членов в сумме действительно равен четвёртому члену.

Следовательно, искомая арифметическая прогрессия:

\[ -1,\;0,\;1,\;2. \]