Упражнение 873 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 212

Пусть три последовательных члена геометрической прогрессии равны

\[ \frac{a}{q},\; a,\; aq. \]

По условию сумма равна \(-3\):

\[ \frac{a}{q}+a+aq=-3. \]

Умножим уравнение на \(q\):

\[ a+aq+aq^2=-3q. \]

Вынесем \(a\):

\[ a(1+q+q^2)=-3q. \]

Так как все члены прогрессии целые и различные, рассмотрим целые значения знаменателя \(q\).

Пусть \(q=-2\).

Тогда

\[ a(1-2+4)=-3(-2) \]

\[ 3a=6 \]

\[ a=2. \]

Тогда члены прогрессии:

\[ \frac{a}{q}=\frac{2}{-2}=-1, \]

\[ a=2, \]

\[ aq=2\cdot(-2)=-4. \]

Запишем их в порядке геометрической прогрессии:

\[ 2,\;-4,\;8. \]

Проверка суммы:

\[ 2+(-4)+(-1)=-3. \]

Следовательно, искомые числа:

\[ 2,\;-1,\;-4. \]

Ответ:

\[ 2,\;-1,\;-4. \]

Пояснения:

Геометрическая прогрессия — это последовательность, в которой каждый следующий член получается умножением предыдущего на одно и то же число \(q\), называемое знаменателем прогрессии:

\[ a_{n+1}=a_n q. \]

Три последовательных члена геометрической прогрессии удобно записывать через средний член:

\[ \frac{a}{q},\; a,\; aq. \]

Такая запись удобна потому, что отношение соседних членов автоматически равно \(q\).

По условию сумма этих трёх чисел равна \(-3\). Поэтому составляем уравнение:

\[ \frac{a}{q}+a+aq=-3. \]

Чтобы избавиться от дроби, умножаем всё уравнение на \(q\). После раскрытия скобок и вынесения \(a\) получается выражение:

\[ a(1+q+q^2)=-3q. \]

Так как все члены прогрессии должны быть целыми числами, знаменатель прогрессии удобно искать среди целых чисел. Подставляя различные значения \(q\), получаем целые значения \(a\).

При \(q=-2\) получается \(a=2\). Тогда члены прогрессии:

\[ \frac{2}{-2}=-1,\quad 2,\quad -4. \]

Эти числа образуют геометрическую прогрессию, потому что

\[ 2\cdot(-2)=-4,\qquad (-1)\cdot(-2)=2. \]

Проверяем сумму:

\[ -1+2-4=-3. \]

Условие задачи выполняется, поэтому искомые числа найдены.