Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№873 учебника 2023-2026 (стр. 212):
Три различных целых числа составляют геометрическую прогрессию. Их сумма равна \(-3\). Найдите эти числа.
№873 учебника 2014-2022 (стр. 220):
Миша и Костя по очереди бросают три игральных кубика. Они договорились, что если при очередном броске выпадет 5 очков, то выигрывает Миша, а если выпадет 16 очков, то выигрывает Костя. У кого больше шансов выиграть?
№873 учебника 2023-2026 (стр. 212):
Вспомните:
№873 учебника 2014-2022 (стр. 220):
Вспомните:
№873 учебника 2023-2026 (стр. 212):
Пусть \(b_1; \; b_2; \; b_3\) геометрическая прогрессия, тогда:
\(b_1; \; b_2=b_1q; \; b_3=b_1q^2.\)
По условию:
\(b_1+b_2+b_3=-3\)
\(b_1+b_1q+b_1q^2=-3\)
\( b_1(1+q+q^2)=-3. \)
Пары целых делителей, на которые можем разложить число \((-3)\): \(-1\) и \(3\); \(1\) и \(-3\). Рассмотрим следующие случаи:
1) Пусть \(b_1=-1\), тогда
\(1+q+q^2=3.\)
Откуда:
\(q^2+q+1-3=0\)
\(q^2+q-2=0\)
\(D=1^2-4\cdot1\cdot(-2)=9>0\) - 2 корня.
\(\sqrt{D}=3\)
\(q_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\)
\(q_{1}=\frac{-1+3}{2\cdot1}=\frac{2}{2}=1\)
\(q_{2}=\frac{-1-3}{2\cdot1}=\frac{-4}{2}=-2\)
Если \(q_1=1\), то:
\(b_1=-1; \; b_2=-1; \; b_3=-1\) - не удовлетворяет условию задачи.
Если \(q_1=-2\), то:
\(b_1=-1; \; b_2=2; \; b_3=-4.\)
2) Пусть \(b_1=1\), тогда
\(1+q+q^2=-3.\)
Откуда:
\(q^2+q+1+3=0\)
\(q^2+q+4=0\)
\(D=1^2-4\cdot1\cdot4=-15<0\) - нет корней.
3) Пусть \(b_1=-3\), тогда
\(1+q+q^2=1.\)
Откуда:
\(q^2+q+1-1=0\)
\(q^2+q=0\)
\(q(q+1)=0\)
\(q+1=0\) или \(q=0\) - не удовлетворяет условию.
\(q=-1.\)
Если \(q=-1\), то:
\(b_1=-3; \; b_2=3; \; b_3=-3\) - не удовлетворяет условию задачи.
4) Пусть \(b_1=3\), тогда
\(1+q+q^2=-1.\)
Откуда:
\(q^2+q+2=0\)
\(D=1^2-4\cdot1\cdot2=-7<0\) - нет корней.
Ответ: \( 2,\;-1,\;-4. \)
Пояснения:
Геометрическая прогрессия называется последовательность отличных от нуля чисел,каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число, называемое знаменателем прогрессии:
\[ a_{n+1}=a_n q. \]
№873 учебника 2014-2022 (стр. 220):
\( n=6^3 = 216 \)
1) Сумма 5:
\((1,1,3), (1,3,1), (3,1,1),\)
\((2,2,1), (2,1,2), (1,2,2)\)
\( m_1 = 6 \)
\( P_1 =\frac{6}{216} = \frac{1}{36} \)
2) Сумма 16:
\((6, 6, 4), (6,4,6), (6,6,4),\)
\((6, 5, 5), (5, 6, 5), (5, 5, 6)\)
\(m_2 = 6 \)
\( P_2 = \frac{6}{216} = \frac{1}{36} \)
\( P_1 = P_2 \)
Ответ: шансы одинаковы.
Пояснения:
Используем классическое определение вероятности:
\[ P = \frac{\text{благоприятные исходы}}{\text{все возможные исходы}} \]
Общее количество исходов при броске трёх кубиков:
\[ 6^3 = 216 \]
Рассмотрим сумму 5:
Возможные комбинации:
\[ 1,1,3 \rightarrow 3 \text{ перестановки} \]
\[ 1,2,2 \rightarrow 3 \text{ перестановки} \]
Всего:
\[ 3 + 3 = 6 \]
Вероятность:
\[ P = \frac{6}{216} = \frac{1}{36} \]
Теперь сумма 16:
Возможные комбинации:
\[ 6,6,4 \rightarrow 3 \text{ перестановки} \]
\[ 6,5,5 \rightarrow 3 \text{ перестановки} \]
Всего:
\[ 3 + 3 = 6 \]
Вероятность:
\[ P = \frac{6}{216} = \frac{1}{36} \]
Так как вероятности равны, ни у Миши, ни у Кости нет преимущества, их шансы выиграть равны.
Вернуться к содержанию учебника