Вернуться к содержанию учебника
Докажите, что если стороны треугольника образуют геометрическую прогрессию, то его высоты также образуют геометрическую прогрессию.
Введите текст
Пусть стороны треугольника равны
\[ a,\; b,\; c, \]
и они образуют геометрическую прогрессию.
Тогда
\[ b^2=ac. \]
Обозначим высоты, проведённые к этим сторонам, через
\[ h_a,\; h_b,\; h_c. \]
Площадь треугольника можно выразить через каждую сторону и проведённую к ней высоту:
\[ S=\frac12 ah_a=\frac12 bh_b=\frac12 ch_c. \]
Отсюда
\[ ah_a=bh_b=ch_c=2S. \]
Значит,
\[ h_a=\frac{2S}{a},\qquad h_b=\frac{2S}{b},\qquad h_c=\frac{2S}{c}. \]
Найдём квадрат средней высоты:
\[ h_b^2=\left(\frac{2S}{b}\right)^2=\frac{4S^2}{b^2}. \]
Так как \(b^2=ac\), то
\[ h_b^2=\frac{4S^2}{ac}. \]
Теперь найдём произведение крайних высот:
\[ h_ah_c=\frac{2S}{a}\cdot\frac{2S}{c}=\frac{4S^2}{ac}. \]
Следовательно,
\[ h_b^2=h_ah_c. \]
Значит, высоты \(h_a,\;h_b,\;h_c\) образуют геометрическую прогрессию.
Пояснения:
Сначала вспомним признаки геометрической прогрессии.
Три числа \(x,\;y,\;z\) образуют геометрическую прогрессию тогда и только тогда, когда квадрат среднего члена равен произведению крайних:
\[ y^2=xz. \]
Именно этот признак удобно использовать в данной задаче. Нам не нужно искать знаменатель прогрессии. Достаточно показать, что для высот выполняется равенство
\[ h_b^2=h_ah_c. \]
По условию стороны треугольника \(a,\;b,\;c\) образуют геометрическую прогрессию. Значит, для них выполняется свойство:
\[ b^2=ac. \]
Далее используется формула площади треугольника:
\[ S=\frac12\cdot \text{основание}\cdot \text{высота}. \]
Если в качестве основания взять сторону \(a\), то
\[ S=\frac12 ah_a. \]
Если взять сторону \(b\), то
\[ S=\frac12 bh_b. \]
Если взять сторону \(c\), то
\[ S=\frac12 ch_c. \]
Так как это один и тот же треугольник, его площадь одна и та же. Поэтому все эти выражения равны между собой:
\[ \frac12 ah_a=\frac12 bh_b=\frac12 ch_c. \]
После умножения на \(2\) получаем:
\[ ah_a=bh_b=ch_c=2S. \]
Отсюда каждая высота выражается через площадь и соответствующую сторону:
\[ h_a=\frac{2S}{a},\qquad h_b=\frac{2S}{b},\qquad h_c=\frac{2S}{c}. \]
То есть высоты обратно пропорциональны сторонам. Это главный смысл задачи: если стороны связаны как геометрическая прогрессия, то и обратные им величины тоже будут связаны похожим образом.
Теперь проверим признак геометрической прогрессии для высот. Для средней высоты имеем:
\[ h_b^2=\left(\frac{2S}{b}\right)^2=\frac{4S^2}{b^2}. \]
Но так как \(b^2=ac\), можно заменить \(b^2\) на \(ac\):
\[ h_b^2=\frac{4S^2}{ac}. \]
С другой стороны, произведение крайних высот равно:
\[ h_ah_c=\frac{2S}{a}\cdot\frac{2S}{c}=\frac{4S^2}{ac}. \]
Получили одно и то же выражение, значит,
\[ h_b^2=h_ah_c. \]
А это и есть признак того, что числа \(h_a,\;h_b,\;h_c\) образуют геометрическую прогрессию.
Следовательно, если стороны треугольника образуют геометрическую прогрессию, то и соответствующие им высоты тоже образуют геометрическую прогрессию.
Вернуться к содержанию учебника