Упражнение 875 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 212

Докажите, что при любом натуральном значении \(n>1\) верно неравенство

\[ \frac{1}{2}<\sqrt[n]{\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots \cdot (2n-1)}{2\cdot 4\cdot 6\cdot \ldots \cdot 2n}}<1. \]

Решение:

Обозначим

\[ A=\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots \cdot (2n-1)}{2\cdot 4\cdot 6\cdot \ldots \cdot 2n}. \]

Тогда

\[ A=\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{5}{6}\cdot\ldots\cdot\frac{2n-1}{2n}. \]

Докажем сначала правое неравенство.

Для каждого множителя имеем

\[ \frac{2k-1}{2k}<1. \]

Значит, произведение всех этих положительных множителей тоже меньше \(1\):

\[ A<1. \]

Так как функция \(y=\sqrt[n]{x}\) возрастает при \(x>0\), то

\[ \sqrt[n]{A}<1. \]

Теперь докажем левое неравенство.

Для каждого \(k=1,2,\ldots,n\) имеем

\[ 2k-1\geq k, \]

так как

\[ 2k-1-k=k-1\geq 0. \]

Также

\[ 2k=2k. \]

Следовательно,

\[ \frac{2k-1}{2k}\geq \frac{k}{2k}=\frac{1}{2}. \]

Тогда

\[ A=\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{5}{6}\cdot\ldots\cdot\frac{2n-1}{2n}\geq \underbrace{\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\ldots\cdot\frac{1}{2}}_{n\text{ раз}}=\frac{1}{2^n}. \]

Отсюда

\[ \sqrt[n]{A}\geq \sqrt[n]{\frac{1}{2^n}}=\frac{1}{2}. \]

Но при \(n>1\) хотя бы для одного множителя, например при \(k=2\), выполняется строгое неравенство

\[ \frac{2k-1}{2k}=\frac{3}{4}>\frac{1}{2}. \]

Значит, произведение \(A\) строго больше, чем \(\frac{1}{2^n}\):

\[ A>\frac{1}{2^n}. \]

Следовательно,

\[ \sqrt[n]{A}>\sqrt[n]{\frac{1}{2^n}}=\frac{1}{2}. \]

Итак, получаем

\[ \frac{1}{2}<\sqrt[n]{\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots \cdot (2n-1)}{2\cdot 4\cdot 6\cdot \ldots \cdot 2n}}<1. \]

Что и требовалось доказать.

Пояснения:

Сначала разберём, из чего состоит данное выражение. В числителе стоят все нечётные числа от \(1\) до \(2n-1\), а в знаменателе — все чётные числа от \(2\) до \(2n\). Поэтому всю дробь удобно записать как произведение дробей:

\[ \frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots \cdot (2n-1)}{2\cdot 4\cdot 6\cdot \ldots \cdot 2n} = \frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{5}{6}\cdot\ldots\cdot\frac{2n-1}{2n}. \]

Это главный шаг, потому что дальше можно сравнивать не всё выражение сразу, а каждый множитель по отдельности.

Для доказательства правой части неравенства нужно показать, что всё выражение под корнем меньше \(1\). Каждый множитель имеет вид

\[ \frac{2k-1}{2k}. \]

В такой дроби числитель меньше знаменателя, значит, каждая дробь меньше \(1\):

\[ \frac{2k-1}{2k}<1. \]

Произведение нескольких положительных чисел, каждое из которых меньше \(1\), тоже меньше \(1\). Значит, всё произведение меньше \(1\). А так как извлечение корня \(n\)-й степени из положительного числа сохраняет знак неравенства, то и после извлечения корня получаем число меньше \(1\).

Теперь объясним левую часть неравенства. Нужно доказать, что выражение под корнем больше, чем \(\frac{1}{2^n}\). Для этого сравним каждый множитель с \(\frac{1}{2}\).

Заметим, что

\[ 2k-1\geq k \]

при любом \(k\geq 1\), потому что

\[ 2k-1-k=k-1\geq 0. \]

Тогда, деля обе части на \(2k\), получаем:

\[ \frac{2k-1}{2k}\geq \frac{k}{2k}=\frac{1}{2}. \]

Значит, каждый множитель не меньше \(\frac{1}{2}\). Поэтому всё произведение не меньше произведения \(n\) одинаковых множителей \(\frac{1}{2}\):

\[ \frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdot\ldots\cdot\frac{2n-1}{2n}\geq \frac{1}{2^n}. \]

Но в задаче требуется строгое неравенство \( \frac{1}{2}<\sqrt[n]{A}\), а не просто \( \frac{1}{2}\leq \sqrt[n]{A}\). Поэтому нужно заметить, что при \(n>1\) среди множителей есть хотя бы один, который строго больше \(\frac{1}{2}\). Например, уже второй множитель равен

\[ \frac{3}{4}>\frac{1}{2}. \]

Следовательно, всё произведение строго больше, чем \(\frac{1}{2^n}\). После извлечения корня получаем строгое неравенство:

\[ \sqrt[n]{A}>\frac{1}{2}. \]

Итак, идея доказательства состоит в двойном сравнении произведения: сверху — с \(1\), снизу — с \(\frac{1}{2^n}\). После этого остаётся извлечь корень \(n\)-й степени и получить нужную оценку.