Упражнение 874 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 212

Пусть три числа арифметической прогрессии:

\[ 1,\; 1+d,\; 1+2d \]

По условию ко второму члену прибавляем \(3\):

\[ (1+d)+3=4+d \]

Третий член возводим в квадрат:

\[ (1+2d)^2 \]

Получается геометрическая прогрессия:

\[ 1,\; 4+d,\; (1+2d)^2 \]

Для геометрической прогрессии выполняется свойство:

\[ (4+d)^2=1\cdot(1+2d)^2 \]

Раскроем скобки:

\[ (4+d)^2=d^2+8d+16 \]

\[ (1+2d)^2=1+4d+4d^2 \]

Подставим:

\[ d^2+8d+16=1+4d+4d^2 \]

Перенесём всё в одну сторону:

\[ 0=1+4d+4d^2-d^2-8d-16 \]

\[ 0=3d^2-4d-15 \]

Решим квадратное уравнение:

\[ 3d^2-4d-15=0 \]

\[ d=\frac{4\pm\sqrt{16+180}}{6} \]

\[ d=\frac{4\pm14}{6} \]

\[ d=3 \]

\[ d=-\frac{5}{3} \]

Так как числа должны быть целыми, берём

\[ d=3 \]

Тогда члены арифметической прогрессии:

\[ 1,\;4,\;7 \]

Проверка:

\[ 1,\;4+3,\;7^2 \]

\[ 1,\;7,\;49 \]

\[ 7^2=49 \]

Получается геометрическая прогрессия.

Ответ:

\[ 1,\;4,\;7 \]

Пояснения:

Арифметическая прогрессия — это последовательность, в которой каждый следующий член отличается от предыдущего на одно и то же число \(d\), называемое разностью прогрессии.

Формула последовательных членов:

\[ a_1=a,\quad a_2=a+d,\quad a_3=a+2d. \]

В задаче первый член известен и равен \(1\), поэтому члены прогрессии удобно записать:

\[ 1,\;1+d,\;1+2d. \]

Далее по условию задачи выполняются преобразования: ко второму числу прибавляют \(3\), а третье число возводят в квадрат. После этих действий должна получиться геометрическая прогрессия.

Геометрическая прогрессия обладает важным свойством: квадрат среднего члена равен произведению крайних членов:

\[ b^2=ac. \]

Именно это свойство используется для составления уравнения:

\[ (4+d)^2=1\cdot(1+2d)^2. \]

После раскрытия скобок и приведения подобных членов получается квадратное уравнение. Оно имеет два решения, но только одно из них даёт целые числа последовательности.

При \(d=3\) получаем числа:

\[ 1,\;4,\;7. \]

Проверка показывает, что после преобразований получается последовательность

\[ 1,\;7,\;49, \]

а это действительно геометрическая прогрессия с знаменателем \(7\).