Упражнение 864 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Пусть двузначное число:

\[ \overline{ab} = 10a+b, \]

где \(a\) — цифра десятков,

\(b\) — цифра единиц.

Составим систему уравнений:

\[ \begin{cases} 10a+b=2(a^2+b^2)+6 \\ 10a+b=4ab+6 \end{cases} \]

1) \( 2(a^2+b^2)+6=4ab+6 \)

\( 2(a^2+b^2)=4ab \)    \(/ : 2\)

\[ a^2+b^2=2ab \]

\[ a^2-2ab+b^2=0 \]

\[ (a-b)^2=0 \]

\[ a=b \]

2) \(10a+b=4ab+6\)

\( 10a+a=4a\cdot a+6 \)

\[ 11a=4a^2+6 \]

\[ 4a^2-11a+6=0 \]

\( D=(-11)^2-4\cdot4\cdot6=\)

\(=121-96=25 > 0 \) - два действительных корня.

\(\sqrt{25} = 5\)

\[ a_1=\frac{11+5}{8} =\frac{16}{8}=2 \]

\( a_2=\frac{11-5}{8} =\frac{6}{8}=\frac{3}{4} \) - не удовлетворяет условию.

Если \( a=2 \), то \( b=2 \).

Число: \( 22 \).

3) Проверка:

\[ 2^2+2^2=4+4=8 \]

\( 22=2\cdot8+6 \) - верно.

\( 2\cdot2=4 \) - делитель, а остаток равен \(6\), чего не может быть, так как остаток должен быть меньше делителя.

Ответ: такого числа не существует.

Пояснения:

Обозначение двузначного числа через \(10a+b\) — стандартный приём. Здесь \(a\) — цифра десятков, а \(b\) — цифра единиц.

Фраза «при делении ... даёт в частном \(2\) и в остатке \(6\)» означает, что число можно записать по формуле:

\[ \text{число}=\text{делитель}\cdot2+6. \]

Поэтому из первого условия получается равенство

\[ 10a+b=2(a^2+b^2)+6. \]

Аналогично, из второго условия:

\[ 10a+b=4ab+6. \]

Так как левые части одинаковые, можно приравнять правые части. Это позволяет убрать само число и получить уравнение только для цифр.

После преобразования получается:

\[ (a-b)^2=0. \]

Квадрат числа равен нулю только тогда, когда само число равно нулю. Значит, цифры одинаковые:

\[ a=b. \]

После подстановки получается квадратное уравнение относительно \(a\). У него два корня, но один из них дробный, а цифра должна быть целым числом от \(0\) до \(9\). Поэтому подходит только

\[ a=2. \]

Тогда и \(b=2\), то есть искомое число может быть равно \(22\).

Проверка показывает, что второе условие не выполняются, так как остаток всегда должен быть меньше делителя, значит такого числа не существует.