Упражнение 784 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\(a_6 = -6\) и \(a_{16} = 17{,}5\)

\( \begin{cases} a_6=a_1+5d \\ a_{16}=a_1+15d  \end{cases} \)

\( \begin{cases} -6=a_1+5d    \color{red}{|\times(-1)}\\ 17,5=a_1+15d  \end{cases} \)

+\( \begin{cases} 6=-a_1-5d \\ 17,5=a_1+15d  \end{cases} \)

\(23,5=10d\)

\(d=23,5:10\)

\(d=2,35\)

\(17,5=a_1+15\cdot2,35\)

\(a_1=17,5-35,25\)

\(a_1=-17,75.\)

\(S_{16} = \dfrac{a_1 + a_{16}}{2}\cdot16=\)

\(=\dfrac{-17,75 +17,5}{2}\cdot16=\)

\(= 8(-17{,}75 + 17{,}5) = -2.\)

Ответ:  \(S_{16}=-2.\)

Пояснения:

Основные формулы арифметической прогрессии:

1. Формула \(n\)-го члена:

\(a_n = a_1 + (n - 1)d\)

2. Формула суммы первых \(n\) членов:

\(S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2}n\)

Сначала мы составили выражения для нахождения 6-го и 16-го членов арифметической прогрессии, и объединили их в систему линейных уравнений с двумя переменными, решив которую, мы получили, что \(d=2,35\), \(a_1=-17,75.\)

Для вычисления суммы удобно использовать формулу \(S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2}n\), поскольку нам уже известны первый и шестнадцатый члены.

В результате получили:

\(S_{16} = -2\).

а) \( x^2-0{,}5x-5<0 \)

\(y= x^2-0{,}5x-5\) - парабола, ветви которой направлены вверх, так как \(a = 1 > 0\).

\(x^2-0{,}5x-5=0\)

\( D=(-0{,}5)^2-4\cdot 1\cdot (-5)= \)

\(=0{,}25+20=20{,}25 \)

\( \sqrt{D}=4{,}5 \)

\[ x_1=\frac{0{,}5-4{,}5}{2}=\frac{-4}{2}=-2 \]

\[ x_2=\frac{0{,}5+4{,}5}{2}=\frac{5}{2}=2{,}5 \]

Ответ: \((-2; 2).\)

б) \( x^2-2x+12{,}5>0 \)

\( y= x^2-2x+12{,}5\) - парабола, ветви которой направлены вверх, так как \(a = 1 > 0\).

\( x^2-2x+12{,}5=0 \)

\(D=(-2)^2-4\cdot 1\cdot 12{,}5 =  \)

\( =4-50=-46<0 \) - корней нет. 

Ответ: \(x\in(-\infty;+\infty)\).

Пояснения:

Решение неравенств вида

\(ax^2 + bx + c > 0\) и \(ax^2 + bx + c < 0\):

1) находим дискриминант квадратного трехчлена \(ax^2 + bx + c\) и выясняем имеет ли трехчлен корни;

2) если трехчлен имеет корни, то отмечаем их на оси \(x\) и через отмеченные точки проводим схематически параболу, ветви которой направлены вверх при \(a > 0\) или вниз при \(a < 0\); если трехчлен не имеет корней, то схематически изображают параболу, расположенную в верхней полуплоскости при \(a > 0\) или нижней при \(a < 0\);

3) находят на оси \(x\) промежутки, для которых точки параболы расположены выше оси \(x\) (если решают неравенство \(ax^2 + bx + c > 0\)) или ниже оси \(x\) (если решают неравенство \(ax^2 + bx + c < 0\)).

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

У \(-\infty\) и \(+\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.

Дискриминант квадратного трехчлена

\(ax^2 + bx + c \):

\(D = b^2 - 4ac\).

Если \(D > 0\), то квадратный трехчлен имеет 2 корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\).

Если \(D = 0\), то квадратный трехчлен имеет 1 корень:

\(x = -\frac{b}{2a}\).

Если \(D < 0\), то квадратный трехчлен не имеет корней.