Упражнение 763 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Пусть в первый день мастер изготовил \(x\) деталей (\(x > 0\)), ученик — \(y\) деталей (\(y > 0\)).

Вместе в первый день изготовили:

\[x+y=100.\]

Во второй день мастер изготовил:

\(x+0{,}2x=1{,}2x\) (дет.)

А ученик:

\(y+0{,}1y=1{,}1y\) (дет.)

Вместе во второй день изготовили:

\[1{,}2x+1{,}1y=116.\]

Составим систему уравнений:

\[\begin{cases}x+y=100, \\ 1{,}2x+1{,}1y=116  /\times 10\end{cases}\]

\[\begin{cases}x+y=100, \\ 12x+11y=1160 \end{cases}\]

\[\begin{cases}x=100 - y, \\ 12(100-y)+11y=1160 \end{cases}\]

\(12(100-y)+11y=1160\)

\(1200 - 12y + 11y = 1160\)

\(1200 - y = 1160\)

\(y = 1200 - 1160\)

\(y = 40\)

\(x=100 - 40 = 60\)

Ответ: в первый день мастер изготовил 60 деталей, а ученик - 40 деталей.

Пояснения:

Пусть в первый день мастер изготовил \(x\) деталей, а ученик — \(y\). Тогда по условию:

\[x+y=100.\]

Во второй день мастер изготовил на \(20\%\) больше, то есть \(x+0{,}2x=1{,}2x\). Ученик изготовил на \(10\%\) больше, то есть \(1{,}1y\).

Всего во второй день было изготовлено \(116\) деталей:

\[1{,}2x+1{,}1y=116.\]

Получаем систему двух уравнений. Чтобы избавиться от десятичных дробей, умножаем второе уравнение на \(10\):

\[12x+11y=1160.\]

И решаем систему методом подстановки: из первого уравнения выражаем переменную \(x\) и подставляем это выражение во второе уравнение, решив которое находим \(y\), а затем возвращаясь в подстановку находим \(x\).

\(\small  A_{10}^7 -A_{9}^6= \frac{10!}{(10-7)!} - \frac{9!}{(9-6)!}=\)

\(=\frac{3! \cdot 4\cdot5\cdot6\cdot7\cdot8\cdot9\cdot10}{3!}-\)

\(-\frac{3!\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot7\cdot8\cdot9}{3!}=\)

\(=604\;800-60\;480=544\;320.\)

Ответ: \(544\;320\) номеров. 

Пояснения:

Размещением из \(n\) элементов по \(k\) \((k\le n)\) называется любое множество, состоящее из  \(k\) элементов, взятых в определенном порядке из данных \(n\) элементов.

Число размещений из \(n\) элементов по \(k\) обозначают \(A_n^k\) (читается: "\(A\) из \(n\) по \(k\)")

\(A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}\)

Если можно было бы составить номера, которые начинаются с нуля, то число номеров (без повторения цифр), которые можно составить из 10 цифр, равнялось бы числу размещений из \(10\) элементов по \(7.\) Однако по условию номер не может начинаться на \(0.\) Поэтому из размещений  из \(10\) элементов по \(7\) надо исключить те, у которых первым элементом является цифра \(0\). Их число равно числу размещений из \(9\) элементов по \(6\). Значит, искомое число четырехзначных чисел равно \(A_{10}^7 -A_{9}^6.\)