Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№672 учебника 2023-2026 (стр. 186):
Известны первый член и знаменатель геометрической прогрессии \((b_n)\). Найдите \(b_n\), если:
а) \(b_1=\dfrac{243}{256},\ q=\dfrac{2}{3},\ n=8;\)
б) \(b_1=\sqrt{\dfrac{2}{3}},\ q=-\sqrt{6},\ n=5.\)
№672 учебника 2014-2022 (стр. 176):
Вычислите первые несколько членов последовательности \((y_n)\), если:
а) \(y_1=-3,\; y_{n+1}-y_n=10\);
б) \(y_1=10,\; y_{n+1}\cdot y_n=2{,}5\);
в) \(y_1=1{,}5,\; y_{n+1}-y_n=n\);
г) \(y_1=-4,\; y_{n+1}:y_n=-n^2.\)
№672 учебника 2023-2026 (стр. 186):
Вспомните:
№672 учебника 2014-2022 (стр. 176):
Вспомните:
№672 учебника 2023-2026 (стр. 186):
а) \(b_1=\dfrac{243}{256},\ q=\dfrac{2}{3},\ n=8\)
\[b_n=b_1\cdot q^{\,n-1}\]
\(b_8=\dfrac{243}{256}\cdot\left(\dfrac{2}{3}\right)^{7}=\dfrac{\cancel{3^5}}{2^{\cancel8}}\cdot\dfrac{\cancel{2^7}}{{3^{\cancel7}} ^ {\color{blue}{2}} }=\)
\(=\dfrac{1}{2\cdot 3^2}=\dfrac{1}{2\cdot 9}=\dfrac{1}{18}\).
Ответ: \(b_8=\dfrac{1}{18}\).
б) \(b_1=\sqrt{\dfrac{2}{3}},\ q=-\sqrt{6},\ n=5\)
\[b_n=b_1\cdot q^{\,n-1}\]
\(b_5=\sqrt{\dfrac{2}{3}}\cdot(-\sqrt{6})^{4}=\)
\(=\sqrt{\dfrac{2}{3}}\cdot(\sqrt{6})^{4} =\sqrt{\dfrac{2}{3}}\cdot((\sqrt{6})^{2})^2 =\)
\(=\sqrt{\dfrac{2}{3}}\cdot 6^2 =\sqrt{\dfrac{2}{3}}\cdot 36 \)
\(=\sqrt{\dfrac{2}{3}^ {\color{blue}{\backslash3}} }\cdot 36 = \sqrt{\dfrac{6}{9}}\cdot 36 =\)
\(=\dfrac{\sqrt{6}}{\cancel3}\cdot \cancel{36} ^{\color{blue}{12}} =12\sqrt{6}\)
Ответ: \(b_5= 12\sqrt{6}\).
Пояснения:
Используемые формулы и правила:
1) Формула \(n\)-го члена геометрической прогрессии:
\[b_n=b_1 q^{n-1}.\]
2) Свойства степеней:
\(a^m\cdot a^k=a^{m+k},\)
\(\left(\dfrac{a}{b}\right)^n=\dfrac{a^n}{b^n}.\)
3) Чётная степень отрицательного числа положительна.
4) Свойства арифметического квадратного корня:
\((\sqrt a)^2 = a\),
\(\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt a}{\sqrt b}\).
№672 учебника 2014-2022 (стр. 176):
а) \(y_1=-3,\; y_{n+1}-y_n=10\)
\(y_{n+1}=y_n+10\)
\(y_1=-3\)
\(y_{1+1} = y_2=y_1+10=-3+10=7\)
\(y_{2+1} =y_3=y_2+10=7+10=17\)
\(y_{3+1} =y_4=y_3+10=17+10=27\)
\(y_{4+1} =y_5=y_4+10=27+10=37\)
б) \(y_1=10,\; y_{n+1}\cdot y_n=2{,}5\)
\( y_{n+1}=\frac{2{,}5}{y_n}\)
\(y_1=10\)
\(y_{1+1} =y_2= \frac{2{,}5}{y_1}= \frac{2{,}5}{10}=0,25\).
\(y_{2+1} =y_3= \frac{2{,}5}{y_2}= \frac{2{,}5}{0,25}=\frac{250}{25}=\)
\(=10\).
\(y_{3+1} =y_4= \frac{2{,}5}{y_3}= \frac{2{,}5}{10}=0,25\).
\(y_{4+1} =y_5= \frac{2{,}5}{y_4}= \frac{2{,}5}{0,25}=\frac{250}{25}=\)
\(=10\).
в) \(y_1=1{,}5,\; y_{n+1}-y_n=n\)
\(y_{n+1}=y_n+n\)
\(y_1=1{,}5\)
\( y_{1+1} = y_2=y_1+1=1{,}5+1=2{,}5\)
\( y_{2+1} = y_3=y_2+2=2{,}5+2=4{,}5\)
\( y_{3+1} = y_4=y_3+3=4{,}5+3=7{,}5\)
\( y_{4+1} = y_5=y_4+4=7{,}5+4=\)
\(=11{,}5\)
г) \(y_1=-4,\; y_{n+1}:y_n=-n^2\)
\(y_{n+1}=y_n\cdot(-n^2)\)
\(y_1=-4\)
\(y_{1+1} = y_2=y_1\cdot(-1^2)=\)
\(=-4\cdot(-1)=4\).
\(y_{2+1} =y_3=y_2\cdot(-2^2)=\)
\(=4\cdot(-4)=-16\).
\(y_{3+1} =y_4=y_3\cdot(-3^2)=\)
\(=-16\cdot(-9)=144\).
\(y_{4+1} =y_5=y_4\cdot(-4^2)=\)
\(=144\cdot(-16)=-2304\).
Пояснения:
Используемые правила и приёмы:
1) Если задано равенство вида
\(y_{n+1}-y_n=d\), то каждый следующий член находится прибавлением числа \(d\) к предыдущему.
2) Если задано равенство вида
\(y_{n+1}\cdot y_n=q\), то каждый следующий член находится делением числа \(q\) на предыдущий член.
3) Если \(y_{n+1}:y_n=-n^2\), то
\(y_{n+1}=y_n\cdot(-n^2)\).
Вернуться к содержанию учебника