Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№634 учебника 2023-2026 (стр. 182):
Докажите, что последовательность \((a_n)\), в которой
\[a_1=-5,\qquad a_{k+1}=a_k+10k+5,\]
можно задать формулой
\[a_n=5n^2-10.\]
№634 учебника 2014-2022 (стр. 166):
Между числами \(2\) и \(162\) вставьте такие три числа, которые вместе с данными числами образуют геометрическую прогрессию.
№634 учебника 2023-2026 (стр. 182):
Вспомните:
№634 учебника 2014-2022 (стр. 166):
№634 учебника 2023-2026 (стр. 182):
\((a_n)\) - последовательность, в которой
\[a_1=-5,\quad a_{k+1}=a_k+10k+5,\]
Доказать:
\[a_n=5n^2-10.\]
Доказательство:
1) При \(n=1\):
\(a_1=5\cdot1^2-10 = 5 - 10 = - 5\) - верно.
2) Пусть при \(n = k\) формула верна:
\[a_k=5k^2-10.\]
При \(n = k + 1\):
\[a_{k+1}=5(k+1)^2-10.\]
\[a_{k+1}=a_k+10k+5=\]
\[=5k^2-10+10k+5=\]
\[=5k^2+10k-5=\]
\[=(5k^2+10k+5)-5-5=\]
\[=5(k^2+2k+1)-10=\]
\[=5(k+1)^2-10.\]
Формула верна при \(n=k+1\).
Значит, \(a_n=5n^2-10\) при любом натуральном \(n\).
Пояснения:
Используемые правила и приёмы:
1) Математическая индукция. Чтобы доказать формулу для всех натуральных \(n\), необходимо:
а) проверить её при \(n=1\);
б) предположить её верность при
\(n=k\) и доказать при \(n=k+1\).
2) Формула квадрата суммы:
\[(x+y)^2=x^2+2xy+y^2.\]
3) Подстановка выражения вместо переменной в рекуррентную формулу.
База индукции.
Подставляем \(n=1\) в предполагаемую формулу:
\[a_1=5\cdot 1^2-10=-5.\]
Это совпадает с заданным первым членом последовательности, значит база выполнена.
Индукционный переход.
Предполагаем, что для некоторого номера \(k\) член последовательности вычисляется по формуле
\[a_k=5k^2-10.\]
Следующий член по условию задачи равен
\[a_{k+1}=a_k+10k+5.\]
Подставляем вместо \(a_k\) выражение из индукционного предположения:
\[a_{k+1}=5k^2-10+10k+5.\]
Приводим подобные члены:
\[5k^2+10k-5.\]
Замечаем, что выражение в скобках можно представить как квадрат суммы:
\[k^2+2k+1=(k+1)^2.\]
Тогда:
\[5k^2+10k-5=5(k+1)^2-10.\]
То есть формула верна и для номера \(k+1\).
Вывод.
Так как формула верна при \(n=1\) и из её верности при \(n=k\) следует верность при \(n=k+1\), то последовательность \((a_n)\) при любом натуральном \(n\) задаётся формулой
\[a_n=5n^2-10.\]
№634 учебника 2014-2022 (стр. 166):
\(2; b_2; b_3; b_4; 162\) - геометрическая прогрессия.
\(b_1 = 2,\ b_5 = 162\).
\(b_n=b_1q^{n-1}\)
\(b_5 = b_1\cdot q^{4}\)
\(q^4=\frac{b_5}{b_1}=\frac{162}{2}=81\)
\(q = 3\) или \(q = -3\).
\(q = 3:\)
\( b_2=b_1q= 2\cdot3=6\)
\( b_3=b_1q^2=2\cdot3^2=18\)
\( b_4=b_1q^3=2\cdot3^3=54\).
\(2;\ {\color{blue}{6;\ 18;\ 54}};\ 162\).
\(q = -3:\)
\( b_2=b_1q= 2\cdot(-3)=-6\)
\( b_3=b_1q^2=2\cdot(-3)^2=18\)
\( b_4=b_1q^3=2\cdot(-3)^3=-54\).
\(2;\ {\color{blue}{-6;\ 18;\ -54}};\ 162\).
Ответ: \(6;\ 18;\ 54\) или \(-6;\ 18;\ -54.\)
Пояснения:
Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число \(q\), называемое знаменателем прогрессии.
Формула \(n\)-го члена геометрической прогрессии:
\[ b_n = b_1 \cdot q^{\,n-1}. \]
Так как между числами \(2\) и \(162\) нужно вставить три числа, вся прогрессия состоит из пяти членов. Поэтому используется формула:
\[ b_5 = b_1 \cdot q^4. \]
После подстановки значений получаем уравнение \(q^4 = 81\), из которого находятся два возможных значения знаменателя: \(q=3\) и \(q=-3\).
При \(q=3\) все члены прогрессии положительные. При \(q=-3\) знаки членов чередуются, но крайние члены всё равно равны \(2\) и \(162\). Оба варианта удовлетворяют условию задачи.
Вернуться к содержанию учебника