Упражнение 583 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\(3,\,5,\,7,\,\ldots\) - арифметическая прогрессия.

\(a_1=3,\quad d= 5 - 3=2\)

\(S_n \le 120\)

\(S_n=\dfrac{2a_1+d(n-1)}{2}\,n=\)

\(=\dfrac{2\cdot3+2\cdot(n-1)}{2}\,n=\)

\(=\dfrac{6+2n-2}{2}\,n=\dfrac{2n+4}{2}\,n=\)

\(=\dfrac{\cancel2(n+2)}{\cancel2}\,n=(n + 2)n=\)

\(=n^2 + 2n.\)

\(n^2 + 2n \le 120\)

\(n^2 + 2n -120 \le 0\)

\(y = n^2 + 2n -120\) - парабола, ветви вверх.

\(n^2 + 2n -120 = 0\)

\(D=2^2-4\cdot1\cdot(-120)=\)

\(=4+480=484 > 0\) - два корня.

\(\sqrt{484}=22\).

\(n_1=\dfrac{-2+22}{2\cdot1} =\dfrac{20}{2} = 10.\)

\(n_2=\dfrac{-2-22}{2\cdot1} =\dfrac{-24}{2} = -12.\)

\(n \in [12;\, 10]\) и \(n \in N\)

\(0 < n \le 10\)

\(n=10\) - наибольшее число членов арифметической прогрессии.

Ответ: \(n=10\).

Пояснения:

Последовательность \(3,5,7,\ldots\) является арифметической прогрессией с первым членом \(3\) и разностью \(2\).

Сумма первых \(n\) членов такой прогрессии выражается формулой:

\(S_n=\dfrac{2a_1+d(n-1)}{2}\,n\).

После подстановки значений получаем неравенство \(n(n+2)\le120\). Его решение показывает, что максимальное допустимое число членов — \(n=10\).

Квадратное уравнение

\(a^2 + bx + c = 0\)

решаем через дискриминант

\(D = b^2 - 4ac\).

Если \(D > 0\), то уравнение имеет два корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\).

1. Так как через точки \(A_1,A_2,\ldots\) проведены параллельные прямые, то треугольники \(OA_1B_1\) и \(OA_nB_n\), \(\ldots\) подобны по двум углам (\(\angle О\) - общий, \(\angle {OA_1B_1} = \angle {OA_nB_n}\) как соответственные углы при параллельных прямых \(A_1B_1\) и \(A_nB_n\) и секущей \(OA_n\)), тогда

\(\dfrac{A_nB_n}{A_1B_1}=\dfrac{OA_n}{OA_1}\)

На луче \(OA\) отложены равные отрезки, значит:

\(OA_n=n\cdot OA_1, \Rightarrow \)

\(\Rightarrow \dfrac{A_nB_n}{A_1B_1}=\dfrac{n\cdot OA_1}{OA_1}=n, \Rightarrow \)

\(\Rightarrow A_nB_n=n\cdot A_1B_1\).

2. а) \(A_5B_5=5\cdot A_1B_1=5\cdot1{,}5=\)

\(=7{,}5\).

б) \(A_{10}B_{10}=10\cdot A_1B_1=10\cdot1{,}5=\)

\(=15\).

Пояснения:

Используем теорему о пропорциональных отрезках (следствие из подобия треугольников): если несколько параллельных прямых пересекают стороны угла (или две пересекающиеся прямые), то они отсекают на этих сторонах пропорциональные отрезки.

В задаче точки \(A_1,A_2,\ldots\) лежат на луче \(OA\) так, что \(OA_1= A_1A_2= A_2A_3=\ldots\). Через эти точки проведены прямые, параллельные друг другу, и они пересекают луч \(OB\) в точках \(B_1,B_2,\ldots\).

Рассмотрим треугольники \(OA_1B_1\) и \(OA_nB_n\). У них общий угол при \(O\), а углы при \(A_1\) и \(A_n\) равны соответствующим углам при параллельных прямых, поэтому треугольники подобны.

Из подобия следует пропорция:

\[\dfrac{A_nB_n}{A_1B_1}=\dfrac{OA_n}{OA_1}.\]

Так как \(OA_n\) состоит из \(n\) равных отрезков \(OA_1\), то \(OA_n=n\cdot OA_1\). Подставляя это в пропорцию, получаем \(A_nB_n=n\cdot A_1B_1\).

Отсюда:

\(A_5B_5=5\cdot1{,}5=7{,}5\) см,

\(A_{10}B_{10}=10\cdot1{,}5=15\) см.