Упражнение 588 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\(\begin{cases} y\ge x^2,\\ 2y+x\le 5 \end{cases}\)

1) \(y\ge x^2\)

\(y = x^2\) - парабола, ветви вверх.

\(M(5;2)\) - не является решением неравенства.

\(2 \ge 5^2\)

\(2 \ge 25\) - неверно.

2) \(2y+x\le 5 \)

\(2y\le 5 - x \)  \(/ : 2\)

\(y\le 2,5 - 0,5x\)

\(y = 2,5 - 0,5x\) - прямая.

\(M(5;2)\) - не является решением неравенства.

\(2\le 2,5 - 0,5\cdot5\)

\(2 \le 2,5 - 2,5\)

\(2 \le 0\) - неверно.

Пояснения:

Система неравенств задаёт пересечение двух областей.

Первое неравенство \(y\ge x^2\) означает, что берутся точки, расположенные на параболе \(y=x^2\) и выше неё. График параболы рисуют сплошной линией, потому что знак \(\ge\) включает границу.

Второе неравенство \(2y+x\le 5\) удобно записать в виде \(y\le 2,5 - 0,5x\). Это означает, что берутся точки, расположенные на прямой \(y=\dfrac{5-x}{2}\) и ниже неё. Прямая также рисуется сплошной линией, так как знак \(\le\) нестрогий.

Чтобы понять, какую часть плоскости нужно заштриховать, выбирают точку и проверяют, удовлетворяет ли она неравенству. Если да — закрашивают часть плоскости, где лежит эта точка, если нет — не закрашивают.

Построение границы: если неравенство нестрогое (\(\ge\) или \(\le\)), то линия, соответствующая графику уравнения, входит в решение (рисуем график сплошной линией).

\(a_1 = 12\),  \(d \ne1\),

\(a_n = 20\),   \(a_m = 35\).

1) \(a_n = a_1 + (n - 1)d\)

\(20=12+(n-1)d\)

\((n-1)d = 20 - 12\)

\((n - 1) d = 8\)

\(d = \frac{8}{n-1}\).

\(a_m = a_1 + (m - 1)d\)

\(35=12+(m-1)d\)

\((m - 1)d = 35 - 12\)

\((m-1)d = 23\)

\(d = \frac{23}{m-1}\).

Значит, \( \frac{8}{n-1} = \frac{23}{m-1}\).

Что и требовалось доказать.

2) \(n-1=8k; \quad m-1=23k\),

где \(k\in\mathbb{N}\), тогда:

\(n=8k+1,\quad m=23k+1\)

Если \(k=2\), то

1) \(n=8\cdot2+1 = 16 + 1 = 17,\)

\(d = \frac{8}{17-1} = \frac{8}{16} = \frac12=0,5\).

2) \(m=23\cdot2+1 = 46 + 1 = 47.\)

\(d = \frac{23}{47-1}=\frac{23}{46} = \frac12=0,5\).

Следовательно, при любом натуральном \(k>1\) существует арифметическая прогрессия с первым членом 12, разностью, не равной 1, и членами 20 и 35.

3) Если \(k=1\), то

1) \(n=8\cdot1+1 = 8 + 1 = 9,\)

\(d = \frac{8}{9-1} = \frac{8}{8}=1\).

2) \(m = 23\cdot1 + 1 =23 + 1 = 24\).

\(d = \frac{23}{24-1}=\frac{23}{23} = \frac12=1\).

Это противоречит условию задачи, так как по условию \(d\ne 1\).

Пояснения:

Используется формула \(n\)-го члена арифметической прогрессии:

\[a_n=a_1+(n-1)d.\]

В пункте 1 числа 20 и 35 подставляются в эту формулу, что позволяет выразить \(d\) из этих формул. Учитывая то, что \(d\) одно и то же, получаем \( \frac{8}{n-1} = \frac{23}{m-1}\).

В пункте 2 проверяем подстановкой \(k = 2\) выполнение того, что можно получить арифметическую прогрессию.

Выбор \(k>1\) гарантирует выполнение условия \(d\ne1\), а пункт 3 объясняет, почему значение \(k=1\) недопустимо.