Упражнение 501 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\begin{cases} x^2+y^2+x+y=18,\\ x^2-y^2+x-y=6 \end{cases}\)  \((+)\)

\((x^2+y^2+x+y)+(x^2-y^2+x-y)=18+6\)

\(x^2+\cancel{y^2}+x+\cancel y+x^2-\cancel{y^2}+x-\cancel y=24\)

\(2x^2 + 2x = 24\)

\(2x^2 + 2x - 24 = 0\)  \(/ : 2\)

\(x^2 + x - 12 = 0\)

\(D = 1^2 - 4\cdot1\cdot(-12) = \)

\(=1 + 48 = 49 > 0\) - два корня.

\(\sqrt{49} = 7\).

\(x_1 = \frac{-1 + 7}{2\cdot1} = \frac{6}{2} = 3\).

\(x_2 = \frac{-1 - 7}{2\cdot1} = \frac{-8}{2} = -4\).

1) Если \(x = 3\), то

\(3^2 + y^2 + 3 + y = 18\)

\(9 + y^2 + 3 + y - 18 = 0\)

\(y^2 + y - 6 = 0\)

\(D = 1^2 - 4\cdot1\cdot(-6) =\)

\( = 1 + 24 = 25 > 0 \) - два корня.

\(\sqrt{25} = 5\).

\(y_1 = \frac{-1 + 5}{2\cdot1} = \frac{4}{2} = 2\).

\(y_2 = \frac{-1 - 5}{2\cdot1} = \frac{-6}{2} = -3\).

2) Если \(x =- 4\), то

\((-4)^2 + y^2 + (-4) + y = 18\)

\(16 + y^2 - 4 + y - 18 = 0\)

\(y^2 + y - 6 = 0\)

\(D = 1^2 - 4\cdot1\cdot(-6) =\)

\( = 1 + 24 = 25 > 0 \) - два корня.

\(\sqrt{9} = 5\).

\(y_1 = \frac{-1 + 5}{2\cdot1} = \frac{4}{2} = 2\).

\(y_2 = \frac{-1 - 5}{2\cdot1} = \frac{-6}{2} = -3\).

Ответ: \((-4,2),\ (3,2),\ (-4,-3),\ (3,-3)\)

б) \(\begin{cases} x^2y^2+xy=72,\\ x+y=6 \end{cases}\)

\(x^2y^2+xy=72\)

Пусть \(t=xy\).

\(t^2+t=72\)

\(t^2+t-72=0\)

\(D = 1^2 - 4\cdot1\cdot(-72) =\)

\(=1 + 288 = 289 > 0\) - два корня.

\(\sqrt {289} = 17\).

\(t_1 = \frac{-1 + 17}{2\cdot1} = \frac{16}{2} = 8\).

\(t_2 = \frac{-1 - 17}{2\cdot1} = \frac{-18}{2} = -9\).

1) Если \(t = 8\), то \(xy=8\).

\(\begin{cases} xy=8,\\ x+y=6 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x(6 - x)=8,\\ y=6 - x \end{cases}\)

\(x(6 - x)=8\)

\(6x - x^2 - 8 = 0\)   \(/\times (-1)\)

\(x^2 - 6x + 8 = 0\)

\(D = (-6)^2 - 4\cdot1\cdot8 =\)

\(=36 - 32 = 4 > 0\) - два корня.

\(\sqrt 4 = 2\).

\(x_1 = \frac{6 + 2}{2\cdot1} = \frac{8}{2} = 4\).

\(x_2 = \frac{6 - 2}{2\cdot1} = \frac{4}{2} = 2\).

Если \(x = 4\), то

\(y=6 - 4 = 2\).

Если \(x = 2\), то

\(y=6 -2 = 4\).

2) Если \(t = -9\), то \(xy=-9\).

\(\begin{cases} xy=-9,\\ x+y=6 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x(6 - x)=-9,\\ y=6 - x \end{cases}\)

\(x(6 - x)=-9\)

\(6x - x^2 + 9 = 0\)   \(/\times (-1)\)

\(x^2 - 6x - 9 = 0\)

\(D = (-6)^2 - 4\cdot1\cdot(-9) = \)

\(= 36 + 36 = 72 > 0\) - два корня.

\(\sqrt {72} = \sqrt{36\cdot2} = 6\sqrt2\).

\(x_{1,2} = \frac{6 \pm 6\sqrt2}{2\cdot1} = \frac{6 \pm 6\sqrt2}{2}=\)

\(=3 \pm 3\sqrt2\).

Если \(x=3 + 3\sqrt2\), то

\(y = 6 - (3 + 3\sqrt2) = \)

\(=6 - 3 - 3\sqrt2 = 3 - 3\sqrt2\).

Если \(x=3 - 3\sqrt2\), то

\(y = 6 - (3 - 3\sqrt2) = \)

\(=6 - 3 - 3\sqrt2 = 3 + 3\sqrt2\).

Ответ: \((4;\,2), (2;\, 4)\),

\(\left(3+3\sqrt{2};\,3-3\sqrt{2}\right),\)

\(\left(3-3\sqrt{2};\,3+3\sqrt{2}\right)\).

в) \(\begin{cases} (x+y)^2-2(x+y)=15,\\ x+xy+y=11; \end{cases}\)

Пусть \(t=x+y\).

\(t^2-2t=15\)

\(t^2-2t-15=0\)

\(D = (-2)^2 - 4\cdot1\cdot(-15) = \)

\(=4 + 60 = 64 > 0\) - два корня.

\(\sqrt {64} = 8\).

\(t_1 = \frac{2 + 8}{2\cdot1} = \frac{10}{2} = 5\).

\(t_2 = \frac{2 - 8}{2\cdot1} = \frac{-6}{2} = -3\).

1) Если \(t = 5\), то \(x + y = 5\).

\(\begin{cases} x+y=5,\\ x+xy+y=11 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x+y=5,\\ xy+5=11 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x+y=5,\\ xy=11-5 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x+y=5,\\ xy=6 \end{cases}\)

\(\begin{cases} y=5-x,\\ x(5 - x)=6 \end{cases}\)

\(x(5 - x)=6\)

\(5x - x^2 - 6 = 0\)   \(/\times(-1)\)

\(x^2 - 5x + 6 = 0\)

\(D = (-5)^2 - 4\cdot1\cdot(-6) = \)

\( = 25 + 24 = 49 > 0\) - два корня.

\(x_1 = \frac{5 + 7}{2\cdot1} = \frac{12}{2} = 6\).

\(x_2 = \frac{5 - 7}{2\cdot1} = \frac{-2}{2} = -1\).

Если \(x = 6\), то

\(y = 5 - 6 = -1\).

Если \(x = -1\), то

\(y = 5 - (-1) = 5 + 1 = 6\).

2) Если \(t = -3\), то \(x + y = -3\).

\(\begin{cases} x+y=-3,\\ x+xy+y=11 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x+y=-3,\\ xy-3=11 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x+y=-3,\\ xy=11+3 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x+y=-3,\\ xy=14 \end{cases}\)

\(\begin{cases} y=-3-x,\\ x(-3 - x)=14 \end{cases}\)

\(x(-3 - x)=14\)

\(-3x - x^2 - 14 = 0\)   \(/\times(-1)\)

\(x^2 + 3x + 14 = 0\)

\(D=3^2-4\cdot1\cdot14=\)

\(= 9-56=-47 < 0\) - решений нет.

Ответ: \((2;\,3),\ (3;\,2)\).

г) \(\begin{cases} (x+y)^2-4(x+y)=45,\\ (x-y)^2-2(x-y)=3. \end{cases}\)

Пусть \(a=x+y,\; b=x-y\).

\(\begin{cases} a^2-4a=45,\\ b^2-2b=3. \end{cases}\)

1) \(a^2-4a=45\)

\(a^2-4a-45=0\)

\(D = (-4)^2 - 4\cdot1\cdot(-45) = \)

\(=16 + 180 = 196 > 0\) - два корня.

\(\sqrt{196} = 14\).

\(a_1 = \frac{4 + 14}{2\cdot1} = \frac{18}{2} = 9\).

\(a_2 = \frac{4 - 14}{2\cdot1} = \frac{-10}{2} = -5\).

\(s=9,\; s=-5\)

2) \(b^2-2b=3\)

\(b^2-2b-3=0\)

\(D = (-2)^2 - 4\cdot1\cdot(-3) = \)

\(=4 + 12 = 16 > 0\) - два корня.

\(\sqrt {16} = 4\).

\(b_1 = \frac{2 + 4}{2\cdot1} = \frac{6}{2} = 3\).

\(b_2 = \frac{2 - 4}{2\cdot1} = \frac{-2}{2} = -1\).

Если \(a=9,\; b=3\), то

\(\begin{cases} x+y=9,\\ x-y=3 \end{cases}\)  \((+)\)

\(2x = 12\)

\(x = \frac{12}{2}\)

\(x = 6\)

\(6 + y = 9\)

\(y = 9 - 6\)

\(y = 3\)

\((6;\, 3)\).

Если \(a=9,\; b=-1\), то

\(\begin{cases} x+y=9,\\ x-y=-1 \end{cases}\)  \((+)\)

\(2x = 8\)

\(x = \frac{8}{2}\)

\(x = 4\)

\(4 + y = 9\)

\(y = 9 - 4\)

\(y = 5\)

\((4;\,5)\).

Если \(a=-5,\; b=3\), то

\(\begin{cases} x+y=-5,\\ x-y=3 \end{cases}\)  \((+)\)

\(2x = -2\)

\(x = \frac{-2}{2}\)

\(x = -1\)

\(-1 + y = -5\)

\(y = -5 + 1\)

\(y = -4\)

\((-1; -4)\)

Если \(a=-5,\; b=-1\), то

\(\begin{cases} x+y=-5,\\ x-y=-1 \end{cases}\)  \((+)\)

\(2x = -6\)

\(x = \frac{-6}{2}\)

\(x = -3\)

\(-3 + y = -5\)

\(y = -5 +3\)

\(y = -2\)

\((-3; -2)\)

Ответ: \((6; 3),\ (4; 5),\ (-1;-4),\ (-3; -2)\).

---

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

1) Метод сложения/вычитания уравнений: если в двух уравнениях есть одинаковые выражения, их можно вычесть или сложить, чтобы исключить часть неизвестных.

2) Замена переменной: если встречается выражение \(x+y\), \(x-y\) или \(xy\), удобно обозначить его новой буквой, чтобы упростить уравнения.

а) При сложении второго уравнения из первого сокращаются \(y^2\) и \(y\), остаётся выражение только с \(x\), поэтому сначала находим \(x\). Затем подставляем каждое значение \(x\) в первое (можно и во второе) уравнение и находим \(y\). Поскольку для каждого \(x\) получается два значения \(y\), всего выходит четыре решения.

б) В первом уравнении встречаются \(x^2y^2\) и \(xy\), поэтому делаем замену \(t=xy\) и получаем квадратное уравнение \(t^2+t-72=0\). Затем для каждого найденного \(t\) используем второе уравнение \(x+y=6\) и составляем две системы, решив которые методом подстановки находим четыре решения исходной системы.

в) Здесь обозначаем \(t=x+y\), потому что первое уравнение записано через \(x+y\). Находим возможные \(t\). Второе уравнение переписываем как \(x+y+xy=11\), т.е. \(t+xy=11\), и находим \(xy\). Далее составляем две системы, решив которые методом подстановки находим два решения исходной системы.

г) Вводим \(a=x+y\) и \(b=x-y\), потому что каждое уравнение зависит только от одного из этих выражений. Решаем два независимых квадратных уравнения и получаем значения \(a\) и \(b\). Затем, комбинируя полученные значения \(a\) и \(b\), составляем четыре системы уравнений, решив которые способом сложения, находим четыре решения исходной системы.

\( \begin{cases} y \le 3x - 1,\\ y \ge kx + b \end{cases} \)

а) Прямые должны быть параллельны и вторая прямая должна быть правее первой прямой, поэтому:

\( k = 3, b < -1.\)

б) Прямые должны пересекаться, поэтому:

\(b\) - любое число, \( k \ne 3. \)

в) Прямые должны совпадать:

\( k = 3,\; b = -1. \)

Система может не иметь решений, если прямые параллельны и вторая прямая  расположена левее, т.е. при \( k = 3,\quad b > -1. \)

---

Пояснения:

1. Неравенство \( y \le 3x - 1 \) задаёт полуплоскость, расположенную не выше прямой \(y = 3x - 1\) (включая саму прямую).

Неравенство \( y \ge kx + b \) задаёт полуплоскость, расположенную не ниже прямой \(y = kx + b\) (включая прямую).

Решения системы — пересечение этих двух полуплоскостей, то есть все точки, для которых одновременно выполняются оба условия.

2. Параллельные и пересекающиеся прямые.

Наклон прямой определяется коэффициентом при \(x\). Поэтому:

\[ l_1 \parallel l_2 \iff 3 = k. \]

Если \(k \ne 3\), прямые пересекаются в одной точке, значит границы полуплоскостей образуют вершину угла, а пересечение полуплоскостей даёт угол.

3. Полоса.

Полоса на плоскости — это множество точек между двумя параллельными прямыми. В нашей системе это возможно только при \(k = 3\) и разных свободных членах. Чтобы пересечение полуплоскостей было именно между прямыми, нижняя граница должна быть ниже верхней: \[ 3x + b \le 3x - 1 \;\Longrightarrow\; b \le -1. \]

4. Прямая и отсутствие решений.

Когда обе границы совпадают (\(k = 3,\ b = -1\)), система превращается в равенство \(y = 3x - 1\), то есть множество решений — одна прямая.

Когда \(k = 3,\ b > -1\), прямая \(y = 3x + b\) выше, чем \(y = 3x - 1\). Тогда для любого \(x\) выполняется \[ 3x + b > 3x - 1, \] и найти \(y\), удовлетворяющее одновременно \[ y \ge 3x + b,\quad y \le 3x - 1, \] невозможно, поэтому решений нет.

5. Угол.

При \(k \ne 3\) прямые пересекаются. В точке пересечения обе неравенства выполняются на границе (равенство). По одну сторону от вершины пересечение полуплоскостей образует «щель» между прямыми, уходящую в бесконечность — это и есть угол.