Упражнение 491 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник
Старая и новая редакции
Вернуться к содержанию учебника
Вопрос
Выберите год учебника
№491 учебника 2023-2026 (стр. 145):
При каких значениях \(m\) система уравнений
\(\begin{cases} x^2 + y^2 = 5,\\ x - y = m \end{cases}\)
имеет:
а) одно решение;
б) два решения?
№491 учебника 2014-2022 (стр. 129):
Опишите неравенством множество точек координатной плоскости, расположенных:
а) выше параболы \(y = x^2 - 9\);
б) ниже параболы \(y = (x + 2)^2\).
Подсказка
№491 учебника 2023-2026 (стр. 145):
Вспомните:
- Системы уравнений с двумя переменными.
- Метод подстановки при решении систем уравнений.
- Уравнение окружности.
- Уравнение прямой.
- Квадрат разности двух выражений.
- Подобные слагаемые.
- Полные квадратные уравнения.
- Степень с натуральным показателем.
- Свойства степени с натуральным показателем.
- Распределительное свойство умножения.
- Неполные квадратные уравнения.
- Деление и дроби.
- Арифметический квадратный корень.
- Решение неравенств второй степени с одной переменной.
- Квадратичная функция, ее график.
- Свойства неравенств.
- Числовые промежутки.
№491 учебника 2014-2022 (стр. 129):
Вспомните:
Ответ
№491 учебника 2023-2026 (стр. 145):
\(\begin{cases} x^2 + y^2 = 5,\\ x - y = m \end{cases}\)
\(\begin{cases} x^2 + (x-m)^2 = 5,\\ y = x-m \end{cases}\)
\(x^2 + (x - m)^2 = 5\)
\(x^2 + x^2 - 2mx + m^2 - 5=0\)
\(2x^2 - 2mx + (m^2 - 5) = 0\) - квадратное уравнение относительно \(x\).
\(D = (-2m)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (m^2 - 5)=\)
\(= 4m^2 - 8m^2 + 40 =\)
\( = - 4m^2 + 40.\)
а) Уравнение имеет одно решение, если \(D = 0\).
\(- 4m^2 + 40 = 0\)
\(4m^2 = 40\)
\(m^2 = \frac{40}{4}\)
\(m^2 = 10\)
\(m = \pm\sqrt{10}\)
б) Уравнение имеет два решения, если \(D > 0\).
\(- 4m^2 + 40 > 0\)
\(y = -4m^2 + 40\) - парабола, ветви направлены вниз.
\(-4m^2 + 40 = 0\)
\(-4m^2 = -40\) \(/ : (-4)\)
\(m^2 = \frac{40}{4}\)
\(m^2 = 10\)
\(m = \pm\sqrt10\)
\(m\in(-\sqrt10; \sqrt10)\)
Ответ: а) при \(m = \pm\sqrt{10}\);
б) при \(m\in(-\sqrt10; \sqrt10)\).
Пояснения:
Первое уравнение системы задаёт окружность с центром в начале координат и радиусом:
\[r = \sqrt{5}\]
Второе уравнение задаёт прямую:
\[x - y = m\]
Число решений системы равно числу точек пересечения прямой и окружности.
После подстановки уравнения прямой в уравнение окружности получаем квадратное уравнение относительно \(x\).
Если дискриминант равен нулю, прямая касается окружности — система имеет одно решение.
Если дискриминант положителен, прямая пересекает окружность в двух точках — система имеет два решения.
№491 учебника 2014-2022 (стр. 129):
а) \(y > x^2 - 9\).
б) \(y < (x + 2)^2\).
Пояснения:
Правило связи положения точки относительно графика функции и неравенства такое:
Пусть задан график функции \(y = f(x)\). Тогда:
\(y > f(x)\) — точки выше графика,
\(y = f(x)\) — точки на графике,
\(y < f(x)\) — точки ниже графика.
Пояснение к пункту а)
Парабола задана уравнением \(y = x^2 - 9\). Точки, расположенные выше её, должны иметь координату \(y\) больше, чем значение \(x^2 - 9\) при том же \(x\). Поэтому множество таких точек описывается неравенством
\[y > x^2 - 9.\]
Знак строгий, так как речь идёт именно о точках выше параболы, а не на ней.
Пояснение к пункту б)
Парабола задана уравнением \(y = (x + 2)^2\). Точки, расположенные ниже этой параболы, имеют координату \(y\) меньше значения \((x + 2)^2\) при том же \(x\). Поэтому множество описывается неравенством
\[y < (x + 2)^2.\]
Опять используется строгий знак, так как точки на самой параболе не входят в описание «ниже параболы».
Вернуться к содержанию учебника