Упражнение 383 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\begin{cases} 5x + 2y = 30,  /\times(-2) \\ 3x + 4y = -3; \end{cases}\)

\(\begin{cases} -10x - 4y = -60, \\ 3x + 4y = -3; \end{cases}\)   \((+)\)

1) \((-10x + 3x) + (-4y + 4y) = -60 + (-3)\)

\(-7x = -63\)

\(x = \frac{-63}{-7}\)

\(x = 9\)

2) \(5\cdot 9 + 2y = 30\)

\(45 + 2y = 30\)

\(2y = 30 - 45\)

\(2y = -15\)

\(y = -\dfrac{15}{2}\)

\(y = -7,5\)

Ответ: \( (9;\,-7,5)\)

б) \(\begin{cases} 2x - y = 85,  /\times(-2) \\ 5x - 2y = 200. \end{cases}\)

\(\begin{cases} -4x + 2y = -170, \\ 5x - 2y = 200. \end{cases}\)    \((+)\)

1) \((-4x + 5x) + (2y + (-2y)) = -170 + 200\)

\(x = 30\)

2) \(2\cdot 30 - y = 85\)

\(60 - y = 85\)

\(-y =85 - 60\)

\(-y = 25\)

\(y = -25\)

Ответ: \((30,\,-25)\)

Пояснения:

Метод сложения:

1. Подбираем множители, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными.

2. Складываем уравнения, исключая одну переменную.

3. Решаем оставшееся линейное уравнение.

4. Подставляем найденное значение в одно из исходных уравнений, находим вторую переменную.

1) \(x^2 + 6x - 7 \le 0\)

\(y = x^2 + 6x - 7\) - парабола, ветви которой направлены вверх.

\(x^2 + 6x - 7 = 0\)

\(D = 6^2 - 4\cdot1\cdot(-7) =\)

\(=36 + 28 = 64 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt {64} = 8\).

\(x_{1} = \dfrac{-6 - 8}{2\cdot1} = \dfrac{-14}{2} = -7\).

\(x_{2} = \dfrac{-6 + 8}{2\cdot1} = \dfrac{2}{2} = 1\).

\(x \in [-7; 1]\).

2) \(x^2 - 2x - 15 \le 0\)

\(y = x^2 - 2x - 15\) - парабола, ветви которой направлены вверх.

\(x^2 - 2x - 15 = 0\)

\(D = (-2)^2 - 4\cdot1\cdot(-15) =\)

\(=4 + 60 = 64 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt {64} = 8\).

\(x_{1} = \dfrac{2 - 8}{2\cdot1} = \dfrac{-6}{2} = -3 \).

\(x_{2} = \dfrac{2 + 8}{2\cdot1} = \dfrac{10}{2} = 5 \).

\(x \in [-3; 5]\).

3) \([-7; 1] \cap [-3; 5] = [-3; 1]\).

Ответ: \(x \in [-3;\,1]\).

Пояснения:

Решение неравенств вида

\(ax^2 + bx + c \ge 0\):

1) находим корни квадратного трехчлена \(ax^2 + bx + c\), если они есть;

2) если трехчлен имеет корни, то отмечаем их на оси \(x\) и через отмеченные точки проводим схематически параболу, ветви которой направлены вверх при \(a > 0\) или вниз при \(a < 0\); если трехчлен не имеет корней, то схематически изображают параболу, расположенную в верхней полуплоскости при \(a > 0\) или нижней при \(a < 0\);

3) находят на оси \(x\) промежутки, для которых точки параболы расположены выше оси \(x\) и на оси \(x\).

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.

Дискриминант квадратного трехчлена

\(ax^2 + bx + c \):

\(D = b^2 - 4ac\).

Если \(D > 0\), то квадратный трехчлен имеет 2 корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\).

Чтобы число \(x\) было решением обоих неравенств одновременно, нужно найти пересечение решений этих неравенств.