Упражнение 295 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\dfrac{x - 21}{x + 7} < 0\)

\((x - 21)(x + 7) < 0\)

\((x - 21)(x + 7) = 0\)

\(x - 21 = 0\)  или   \(x + 7 =0\)

\(x = 21\)                  \(x = -7\)

Ответ: \(x \in (-7; 21)\).

б) \(\dfrac{x + 4{,}7}{x - 7{,}2} > 0\)

\((x + 4{,}7)(x - 7{,}2) > 0\)

\((x + 4{,}7)(x - 7{,}2) = 0\)

\(x + 4,7 = 0\)   или   \(x - 7,2 = 0\)

\(x=-4{,}7\)                 \(x=7{,}2\)

Ответ: \(x \in (-\infty; -4,7) \cup (7,2; + \infty)\).

в) \(\dfrac{6x + 1}{3 + x} > 0 \)

\((6x + 1)(3 + x) > 0 \)

\((6x + 1)(3 + x) = 0 \)

\(6x + 1 = 0\)   или   \(3 + x = 0\)

\(6x = -1\)                \(x = - 3\)

\(x = -\frac16\)

Ответ: \(x \in (-\infty; -3) \cup \left(-\frac16; + \infty\right)\).

г) \(\dfrac{5x}{4x - 12} < 0\)

\(5x(4x - 12) < 0\)   \(/ : 5\)

\(x(4x - 12) < 0\)

\(x(4x - 12) = 0\)

\(x = 0\)   или   \(4x - 12 = 0\)

                       \(4x = 12\)

                       \(x = \frac{12}{4}\)

                       \(x = 3\)

Ответ: \(x \in (0; 3)\).

Пояснения:

При всех значениях \(x\), при которых дробь \(\frac{x - a}{x-b}\) имеет смысл, знак этой дроби совпадает со знаком произведения \((x - a)(x-b)\), поэтому неравенства \(\frac{x - a}{x-b} < 0\) и \(\frac{x - a}{x-b} > 0\) равносильны неравенствам \((x - a)(x-b) < 0\) и \((x - a)(x-b) > 0\) соответственно, которые решаем методом интервалов.

Метод интервалов применяется к произведению вида \((x-a)(x-b)\dots\).

Находим нули каждого множителя — это точки, в которых знак выражения меняется.

Отмечаем точки на числовой прямой и определяем знак выражения на каждом интервале. Достаточно определить знак на одном интервале, а на остальных расставить знаки так, чтобы они чередовались. Чтобы определить знак на одном из интервалов, нужно взять какое-нибудь значение из рассматриваемого интервала и определить знак функции при этом значении.

Если знак требуется «>0» — берём интервалы со знаком "+", без корней; если «<0» — интервалы со знаком "–", без корней.

Также помним свойство неравенств:

если \(a < b\) и \(c\) - положительное число, то \(ac < bc\), то есть если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится верное неравенство.

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

У \(+\infty\) и \(-\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.

а) \(y = x^{2} + x - 9\) и \(y = \dfrac{9}{x}\)

\( x^{2} + x - 9 = \frac{9}{x} \)    \(/\times x\)

ОДЗ: \(x \neq 0\).

\(x^{3} + x^{2} - 9x = 9 \)

\( x^{3} + x^{2} - 9x - 9 = 0\)

\(x^2(x+1) - 9(x+1) = 0\)

\((x+1) (x^2 - 9) = 0\)

\((x+1) (x - 3) (x +3) = 0\)

или \(x + 1 =0\)

       \(x = -1\)

или \(x - 3 = 0\)

       \(x = 3\)

или \(x + 3 = 0\)

       \(x = -3\)

Если \( x=-1\), то

\(y = \frac9x= \frac{9}{-1} =-9.\)

Если \( x=3\), то

\(y = \frac9x= \frac{9}{3} =3.\)

Если \( x=-3\), то

\(y = \frac9x= \frac{9}{-3} =-3.\)

Ответ: точки пересечения \((-1,-9),\,(3,3),\,(-3,-3)\).

б) \(y = x^{2} + 6x - 4\) и \(y = \dfrac{24}{x}\)

\( x^{2} + 6x - 4 = \frac{24}{x}\)    \(/\times x\)

ОДЗ: \(x\neq 0\).

\( x^{3} + 6x^{2} - 4x = 24\)

\( x^{3} + 6x^{2} - 4x - 24 = 0\)

\(x^2(x+6) -4(x+6) =0\)

\((x+6)(x^2-4) = 0\)

\(x+6)(x-2)(x+2) =0\)

или \(x + 6 =0\)

       \(x = -6\)

или \(x - 2 = 0\)

       \(x = 2\)

или \(x + 2 = 0\)

       \(x = -2\)

Если \( x=-6\), то

\( y=\frac{24}{x}=\frac{24}{-6}=-4. \)

Если \( x=2\), то

\( y=\frac{24}{x}=\frac{24}{2}=12. \)

Если \( x=-2\), то

\( y=\frac{24}{x}=\frac{24}{-2}=-12. \)

Ответ: точки пересечения \((-6,-4),\,(2,12),\,(-2,-12)\).

Пояснения:

1. Точки пересечения графиков функций находятся решением уравнения, которое получается путём приравнивания правых частей, рассматриваемых функций.

2. Полученное уравнение всегда преобразуется к многочленному: умножаем на \(x\), переносим всё влево и группируем.

3. В обоих примерах многочлены третьей степени раскладываются на множители методом группировки.

4.  После нахождения значений \(x\) подставляем их во вторую функцию (удобнее в дробь), чтобы получить координату по оси \(y\).