Упражнение 287 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \((x - 2)(x - 5)(x - 12) > 0\)

\((x - 2)(x - 5)(x - 12) = 0\)

или  \(x-2=0\)

       \(x = 2\)

или  \(x - 5 = 0\)

        \(x = 5\)

или  \(x-12 =0\) 

        \(x=12\)

Ответ: \(x \in (2; 5) \cup (12; +\infty)\).

б) \((x + 7)(x + 1)(x - 4) < 0\)

\((x + 7)(x + 1)(x - 4) = 0\)

или  \(x+7=0\)

        \(x = -7\) 

или  \(x + 1=0\)

        \(x=-1\) 

или  \(x - 4 = 0\)

        \(x=4\)

Ответ: \(x \in (-\infty; -7) \cup (-1; 4)\).

в) \(x(x + 1)(x + 5)(x - 8) > 0\)

\(x(x + 1)(x + 5)(x - 8) = 0\)

или  \(x = 0\)

или  \(x + 1 = 0\)

        \(x = -1\)

или  \(x + 5 = 0\)

        \(x = -5\)

или  \(x - 8 = 0\)

        \(x = 8\)

Ответ: \(x \in (-\infty; -5) \cup (-1; 0) \cup (8; +\infty)\).

Пояснения:

При решении неравенств используем метод интервалов.

Метод интервалов применяется к произведению вида \((x-a)(x-b)\dots\).

Находим нули каждого множителя — это точки, в которых знак выражения меняется.

Отмечаем точки на числовой прямой и определяем знак выражения на каждом интервале. Достаточно определить знак на одном интервале, а на остальных расставить знаки так, чтобы они чередовались. Чтобы определить знак на одном из интервалов, нужно взять какое-нибудь значение из рассматриваемого интервала и определить знак функции при этом значении.

Если знак требуется «>0» — берём интервалы со знаком "+", без корней; если «<0» — интервалы со знаком "–", без корней; если «≥0» — интервалы со знаком "+" и включаем корни; если «≤0» — интервалы со знаком "–" и включаем корни.

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.

У \(+\infty\) и \(-\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.

\(x > 0\)

Составим уравнение:

\( \frac{1}{x} + \frac{1}{x + 11} = \frac{1}{30}\) \(/\times 30x(x+11)\)

\(30(x + 11) +30x = x(x+11)\)

\(30x + 330 + 30 x = x^2 + 11x \)

\(60x + 330 = x^2 + 11x \)

\(x^2 + 11x - 60 x - 330 = 0\)

\(x^2 - 49x - 330 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = -49\),  \(c = -330\)

\( D = b^2 - 4ac =\)

\(=(-49)^{2} - 4\cdot 1\cdot (-330) = \)

\(=2401 + 1320 = 3721 > 0 \) - уравнение имеет 2 корня.

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),    \(\sqrt{D} = 61.\)

\( x_{1} = \frac{49 + 61}{2\cdot1}=\frac{110}{2} = 55. \)

\( x_{2} = \frac{49 - 61}{2\cdot1}=\frac{-12}{2} = -6\) - не удовлетворяет условию.

1) \(55\) (ч) - время, за которое выполнит задание 2 сварщик.

2) \( 55 + 11 = 66\) (ч) - время, за которое выполнит задание 1 сварщик.

Ответ: 66 ч и 55 ч.

Пояснения:

1. Основные формулы:

Производительность = \(\dfrac{1}{\text{время}}\).

Совместная производительность = сумма производительностей.

2. В задаче:

— пусть второй работает \(x\) часов, тогда первый \(x + 11\); — работая вместе, они выполняют работу за 30 часов, значит их производительности суммируются и можем составить дробное рациональное уравнение:

\[ \frac{1}{x} + \frac{1}{x + 11} = \frac{1}{30}. \]

3. Алгоритм решения уравнения:

1) найти ОДЗ (область допустимых значений), то есть те значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль;

2) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение (предварительно,если возможно, разложить все знаменатели на множители);

3) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

4) решить получившееся целое уравнение;

5) исключить из его корней те, которые совпадают с ОДЗ.