Упражнение 188 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( y = |x + 3| \)

Свойства:

1. \(D(f) = (-\infty; + \infty)\).

2. \(E(f) = [0; +\infty)\).

3. \(y = 0\) при \(x = -3\).

4. \(y > 0\) при \(x \ne -3\).

5. Функция убывает на \((-\infty;-3]\) и возрастает на \([-3; + \infty)\).

6. Наименьшее значение функции равно нулю при \(x = -3\).

7. Функция не является ни четной, ни нечетной.

б) \( y = \frac{2}{x} \) - гипербола.

Свойства:

1. \(D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; + \infty)\).

2. \(E(f) = (-\infty; 0) \cup (0; + \infty)\).

3. Нули функции не существуют.

4. \(y > 0\) при \(x > 0\),

\(y < 0\) при \(x < 0\).

5. Функция убывает на \((-\infty; 0)\) и \((0; + \infty)\).

6. Наибольшего и наименьшего значений функция не имеет.

7. Функция является нечетной.

в) \( y = \sqrt{2x} \)

Свойства:

1. \(D(f) = [0; + \infty)\).

2. \(E(f) = [0; + \infty)\).

3. \(y = 0\) при \(x =0\).

4. \(y > 0\) при \(x > 0\).

5. Функция возрастает на \([0; + \infty)\).

6. Наименьшее значение функции равно нулю при \(x = 0\).

7. Функция не является ни четной и ни нечетной.

Пояснения:

Основные свойства функций:

1. Область определения \(D(f)\).

2. Множество значений \(E(f)\).

3. Нули функции - значения аргумента (\(x\)), при которых функция (\(y\)) обращается в нуль.

4. Промежутки знакопостоянства - промежутки, на которых функция сохраняет знак (на промежутках, расположенных выше оси \(x\) функция принимает положительные значения, на промежутках, расположенных ниже оси \(x\) функция принимает отрицательные значения).

5. Промежутки монотонности функции - промежутки возрастания и убывания функции. Если функция возрастает на всей области определения, то ее называют возрастающей функцией, а если убывает, то - убывающей функцией.

6. Наибольшее и наименьшее значения функции, если существуют.

7. Четность/нечетность функции.

Функция называется четной, если выполняются следующие условия:

- область определения функции симметрична относительно оси ординат (оси \(y\));

- противоположным значениям аргумента соответствуют равные значения функции.

Функция называется нечетной, если выполняются следующие условия:

- область определения функции симметрична относительно начала координат;

- противоположным значениям аргумента соответствуют противоположные значения функции.

\(\dfrac{4x}{x+2} = x - 3\)

\(\dfrac{4x + 8 - 8}{x+2}=\dfrac{4(x + 2) - 8}{x+2}=\)

\(=4 - \dfrac{8}{x+2}.\)

\(4 - \dfrac{8}{x+2} = x - 3\)

\(y = 4 - \dfrac{8}{x+2}\) - гипербола с асимптотами \(x = -2\) и \(y = 4\).

\(y=x-3\) - прямая.

Ответ: \(x = -1\),  \(x = 6\).

Пояснения:

При графическом способе решения уравнений, нужно найти координаты точек пересечения графиков, которые соответствуют функциям, стоящим в левой и правой частях уравнения, так как абсциссы (координаты \(x\)) точек пересечения являются корнями исходного уравнения.

В рассматриваемом случае необходимо построить:

— прямую \(y=x-3\). Прямая однозначно задается двумя точками, поэтому составляем таблицу для двух значений \(x\) и по точкам полученным в таблице, чертим искомую прямую.

— гиперболу \(y=\dfrac{4x}{x+2}\).

Чтобы построить график гиперболы \(y=\dfrac{4x}{x+2}\), приводим эту функцию к виду \(\displaystyle y = \frac{k}{x - m} + n\). Для этого нужно выделить целую часть из дроби, соответствующей этой функции. При этом учитываем то, что значение выражения не изменится, если к нему прибавить и вычесть одно и то же число, а также помним:

\(\dfrac{ka + b}{a} = \dfrac{ka}{a} + \dfrac{b}{a} = k + \dfrac{b}{a}\).

Для функции вида \(\displaystyle y = \frac{k}{x - m} + n\) вертикальная асимптота: \(x = m\); горизонтальная асимптота: \(y = n.\) Асимптота - это прямая, к которой график функции неограниченно приближается, но никогда не пересекает.

\(y = 4 - \dfrac{8}{x+2}\) - графиком является гипербола, у которой вертикальная асимптота \(x=-2\), горизонтальная асимптота \(y=4\). Поэтому график — гипербола \(y=-\dfrac{8}{x}\), сдвинутая влево на \(2\) единицы и вверх на \(4\) единицы. Для построения графика функции пунктиром проводим асимптоты: прямую \(x = -2\) и прямую \(y = 4\). Так как гипербола состоит из двух ветвей, составляем две таблицы: одну для \(x < -2\), другую для \(x > -2\). Отметив точки в координатной плоскости, координаты которых указаны в первой таблице, и соединив их плавной непрерывной линией, получим одну ветвь гиперболы. Аналогично, используя вторую таблицу, получим вторую ветвь гиперболы.

По построению видим, что прямая \(y=x-3\) пересекает гиперболу \(y = 4 - \dfrac{8}{x+2}\) в двух точках, которые имеют абсциссы \(x=-1\) и \(x=6\), являющиеся корнями исходного уравнения.