Упражнение 190 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 69

а) \( f(x)=\frac{x^{2}-9}{x-3}\)

\(f(x)=\frac{\cancel{(x-3)}(x+3)}{\cancel{x-3}} =\)

\(f(x)=x+3,\quad x\ne 3 \) - прямая с "выколотой" точкой при \(x = 3\).

Свойства:

1. \(D(f) = (-\infty; 3) \cup (3; + \infty)\).

2. \(E(f) = (-\infty; 6) \cup (6; + \infty)\).

3. \(f)x) = 0\) при \(x = -3\)

4. \(f(x) > 0\) при

\(x \in (-3; 3) \cup (3; +\infty)\),

\(f(x) < 0\) при \(x \in (-\infty; -3)\).

5. Функция возрастает на \(D(f)\).

6. Наибольшего и наименьшего значений функция не имеет.

7. Функция не является ни четной, ни нечетной.

б) \( f(x)=\frac{x^{2}-6x-7}{x+1} \)

\(f(x)=\frac{x^{2}+x-7x-7}{x+1}\)

\(f(x)=\frac{x(x+1)-7(x+1)}{x+1}\)

\(f(x) = \frac{(x-7)\cancel{(x+1)}}{\cancel{x+1}} \)

\(f(x)=x-7,\quad x\ne -1 \) - прямая с "выколотой" точкой при \(x = -1\).

Свойства:

1. \(D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; + \infty)\).

2. \(E(f) = (-\infty; -8) \cup (-8; + \infty)\).

3. \(f)x) = 0\) при \(x = 7\)

4. \(f(x) > 0\) при \((7; +\infty)\),

\(f(x) < 0\) при

\(x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 7)\).

5. Функция возрастает на \(D(f)\).

6. Наибольшего и наименьшего значений функция не имеет.

7. Функция не является ни четной, ни нечетной.

Пояснения:

Правила разложения.

Если числитель раскладывается на множители и один из них совпадает с знаменателем, то можно сократить выражение, но при этом обязательно сохраняется ограничение: точка, в которой знаменатель равен нулю, исключается из графика.

Пояснение к пункту а.

Начинаем с разложения:

\[ x^{2}-9=(x-3)(x+3). \]

После сокращения получается линейная функция, однако исходная функция не определена при \(x=3\). Поэтому график — прямая \(y=x+3\), на которой отсутствует точка \((3,6)\).

3. Пояснение к пункту б.

Разложение:

\[ x^{2}-6x-7=(x-7)(x+1). \]

После сокращения получаем линейную функцию \(y=x-7\), но исходная функция не определена при \(x=-1\), поэтому в графике отсутствует точка \((-1,-8)\).

Основные свойства функций:

1. Область определения \(D(f)\).

2. Множество значений \(E(f)\).

3. Нули функции - значения аргумента (\(x\)), при которых функция (\(y\)) обращается в нуль.

4. Промежутки знакопостоянства - промежутки, на которых функция сохраняет знак (на промежутках, расположенных выше оси \(x\) функция принимает положительные значения, на промежутках, расположенных ниже оси \(x\) функция принимает отрицательные значения).

5. Промежутки монотонности функции - промежутки возрастания и убывания функции. Если функция возрастает на всей области определения, то ее называют возрастающей функцией, а если убывает, то - убывающей функцией.

6. Наибольшее и наименьшее значения функции, если существуют.

7. Четность/нечетность функции.

Функция называется четной, если выполняются следующие условия:

- область определения функции симметрична относительно оси ординат (оси \(y\));

- противоположным значениям аргумента соответствуют равные значения функции.

Функция называется нечетной, если выполняются следующие условия:

- область определения функции симметрична относительно начала координат;

- противоположным значениям аргумента соответствуют противоположные значения функции.