Упражнение 656 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(10; 11; 12; \dots; 99\) - арифметическая прогрессия с \(d = 1\).

\(a_1=10,\ a_n=99\)

\(a_n = a_1 + (n-1)d\)

\(10 + (n-1)\cdot1 = 99\)

\(10 + n - 1 = 99\)

\(9 + n = 99\)

\(n = 99 - 9\)

\(n = 90\)

\(S_n=\dfrac{a_1+a_n}{2}\cdot n\)

\(S_{90}=\dfrac{a_1+a_{90}}{\cancel2}\cdot \cancel{90}  ^{\color{red}{45}} =\)

\(=(10+99)\cdot45=\)

\(=109\cdot 45=4905\).

Ответ: \(4905\).

б) \(100; 101; 102; \dots; 999\) - арифметическая прогрессия с \(d = 1\).

\(a_1=100,\ a_n=999\)

\(a_n = a_1 + (n-1)d\)

\(100 + (n-1)\cdot1 = 999\)

\(100 + n - 1 = 999\)

\(99 + n = 999\)

\(n = 999 - 99\)

\(n = 900\)

\(S_n=\dfrac{a_1+a_n}{2}\cdot n\)

\(S_{900}=\dfrac{a_1+a_{900}}{\cancel2}\cdot \cancel{900}  ^{\color{red}{450}} =\)

\(=(100 + 999)\cdot 450 =\)

\(=1099\cdot 450=494\,550\).

Ответ: \(494\,550\).

Пояснения:

Используемые правила и формулы:

1) Все двузначные и трёхзначные числа образуют арифметическую прогрессию с разностью \(d=1\).

2) Количество последовательных целых чисел от \(a_1\) до \(a_n\) включительно находим через формулу \(n\)-го члена арифметической прогрессии.

\(a_n = a_1+(n-1)d\).

3) Формула суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии:

\[S_n=\frac{(a_1+a_n)}{2}\cdot n\]

а) Сумма всех двузначных чисел.

Двузначные числа начинаются с \(10\) и заканчиваются \(99\). Их всего \(90\), поэтому сумма находится по формуле суммы арифметической прогрессии.

б) Сумма всех трёхзначных чисел.

Трёхзначные числа начинаются с \(100\) и заканчиваются \(999\). Их всего \(900\), поэтому сумма находится по формуле суммы арифметической прогрессии.

\(b_2 = 6\); \(b_4 = 54\)

\(|b_3|=\sqrt{b_2\cdot b_4}=\sqrt{6\cdot54}=\)

\(=\sqrt{324}=18\), т.к. все члены прогрессии положительны, то \(b_3=18.\)

\(q=\frac{b_3}{b_1}=\frac{18}{6}=3.\)

\(b_1 = \dfrac{b_2}{q} = \dfrac{6}{3} = 2\).

\(\small S_7 = \dfrac{b_1\cdot(q^7-1)}{q-1} =\dfrac{ 2\cdot(3^7-1)}{3-1}=\)

\(=\dfrac{ 2\cdot(2187-1)}{2}=2186\)

Ответ: \(S_7 = 2186.\)

Пояснения:

1. Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число \(q\), называемое знаменателем прогрессии. Справедливо, что:

\(b_{n+1}=b_{n}q\), откуда, \(q=\frac{b_{n+1}}{b_n}.\)

2. Формула \(n\)-го члена геометрической прогрессии:

\[ b_n = b_1 \cdot q^{\,n-1}. \]

3. Свойство геометрической прогрессии:

Квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению предыдущего и последующего ее членов.

\(b_n^2=b_{n-1}\cdot b_{n+1},\) следовательно,  \(|b_n|=\sqrt{b_{n-1}\cdot b_{n+1}}.\)

4. Сумма первых \(n\) членов геометрической прогрессии при \(q \ne 1\) вычисляется по формуле:

\(S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}\)