Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№589 учебника 2023-2026 (стр. 171):
Найдите первые пять членов геометрической прогрессии \((b_n)\), если:
а) \(b_1 = 6,\ q = 2\);
б) \(b_1 = -16,\ q = \dfrac{1}{2}\);
в) \(b_1 = -24,\ q = -1{,}5\);
г) \(b_1 = 0{,}4,\ q = \sqrt{2}\).
№589 учебника 2014-2022 (стр. 153):
Найдите первый член и разность арифметической прогрессии \((c_n)\), если:
а) \(c_5=27,\ c_{27}=60\);
б) \(c_{20}=0,\ c_{66}=-92\).
№589 учебника 2023-2026 (стр. 171):
№589 учебника 2014-2022 (стр. 153):
Вспомните:
№589 учебника 2023-2026 (стр. 171):
\((b_n)\) - геометрическая прогрессия.
\(b_{n+1}=b_n \cdot q\)
а) \(b_1 = 6,\ q = 2\);
\(b_1 = 6\)
\( b_2 =b_1 \cdot q= 6\cdot2 = 12\)
\( b_3 =b_2 \cdot q= 12\cdot2 = 24\)
\(b_4 =b_3 \cdot q= 24\cdot2 = 48\)
\(b_5 =b_4\cdot q= 48\cdot2 = 96\).
Ответ: \(6;\; 12;\; 24;\; 48;\; 96...\;.\)
б) \(b_1 = -16,\ q = \dfrac{1}{2}\);
\(b_1 = -16\)
\( b_2 =b_1 \cdot q= -16\cdot\dfrac12 = -8\)
\(b_3 =b_2 \cdot q= -8\cdot\dfrac12 = -4\)
\(b_4 =b_3 \cdot q= -4\cdot\dfrac12 = -2\)
\(b_5 =b_4 \cdot q= -2\cdot\dfrac12 = -1\).
Ответ: \(-16;\; -8;\; -4;\; -2;\; -1...\;.\)
в) \(b_1 = -24,\ q = -1{,}5\);
\(b_1 = -24\)
\(b_2 =b_1 \cdot q= -24\cdot(-1{,}5) = 36\)
\(b_3 =b_2 \cdot q= 36\cdot(-1{,}5) = -54\)
\(b_4 =b_3 \cdot q= -54\cdot(-1{,}5) = 81\)
\(b_5 =b_4 \cdot q= 81\cdot(-1{,}5) = -121{,}5\).
Ответ: \(-24;\; 36;\; -54;\; 81;\; -121,5...\;.\)
г) \(b_1 = 0{,}4,\ q = \sqrt{2}\);
\(b_1 = 0{,}4\)
\(b_2 =b_1 \cdot q= 0{,}4\cdot\sqrt2=0{,}4\sqrt2\)
\(b_3 =b_2 \cdot q= 0{,}4\cdot\sqrt2\cdot\sqrt2 = 0{,}8\)
\(b_4 =b_3 \cdot q= 0{,}8\cdot\sqrt2=0{,}8\sqrt2\)
\(b_5 =b_4 \cdot q= 0{,}8\cdot\sqrt2\cdot\sqrt2 = 1{,}6\).
Ответ: \(0{,}4;\; 0{,}4\sqrt2;\; 0,8;\; 0{,}8\sqrt2;\; 1{,}6...\;.\)
Пояснения:
Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число \(q\), называемое знаменателем прогрессии.
Формула для нахождения любого следующего члена геометрической прогрессии:
\[ b_{n+1} = b_n \cdot q. \]
Чтобы найти первые пять членов прогрессии, достаточно последовательно умножать первый член \(b_1\) на знаменатель \(q\).
В пунктах а) и б) знаменатель положительный, поэтому знаки членов либо сохраняются, либо меняются только из-за знака первого члена.
В пункте в) знаменатель отрицательный, поэтому знаки членов прогрессии чередуются.
В пункте г) используется свойство корня: \[ \sqrt2 \cdot \sqrt2 = 2, \] поэтому каждый второй шаг упрощается до умножения на 2, что позволяет получить числовые значения членов прогрессии.
№589 учебника 2014-2022 (стр. 153):
а) \(c_5=27,\ c_{27}=60\)
\(c_n=c_1+(n-1)d\)
\(\begin{cases} c_5=c_1+4d,\\ c_{27}=c_1+26d \end{cases}\)
\(\begin{cases} c_1+4d = 27,\\ c_1+26d = 60 \end{cases}\) \((-)\)
\((c_1+4d)-(c_1+26d)=27-60\)
\(c_1+4d-c_1-26d=-33\)
\(-22d=-33\)
\(d=\dfrac{33}{22}\)
\(d=\dfrac{3}{2}\)
\(d = 1,5\)
\(c_1+4\cdot1,5=27\)
\(c_1+6=27\)
\(c_1=27 - 6\)
\(c_1=21\)
Ответ: \(d = 1,5\), \(c_1=21\).
б) \(c_{20}=0,\ c_{66}=-92\)
\(c_n=c_1+(n-1)d\)
\(\begin{cases} c_{20}=c_1+19d,\\ c_{66}=c_1+65d \end{cases}\)
\(\begin{cases} c_1+19d=0,\\ c_1+65d=-92 \end{cases}\) \((-)\)
\((c_1+19d)-(c_1+65d)=0-(-92)\)
\(c_1+19d-c_1-65d=92\)
\(-46d=92\)
\(d = -\frac{92}{46}\)
\(d=-2\)
\(c_1+19\cdot(-2)=0\)
\(c_1-38=0\)
\(c_1=38\)
Ответ: \(d=-2\), \(c_1=38\).
Пояснения:
Для арифметической прогрессии используется формула:
\[c_n=c_1+(n-1)d.\]
Если известны два члена прогрессии, можно составить систему из двух уравнений с неизвестными \(c_1\) и \(d\). Вычитая одно уравнение из другого, исключаем \(c_1\) и находим разность \(d\).
После нахождения разности \(d\) она подставляется в любое из уравнений, чтобы найти первый член прогрессии \(c_1\) .
Вернуться к содержанию учебника