Упражнение 171 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(y=\dfrac{k}{x-m}+n\), где \(k<0\), если:

\(m>0,\; n<0\).

б) \(y=\dfrac{k}{x-m}+n\), где \(k<0\), если:

\(m<0,\; n>0\).

Пояснения:

1. Основные правила:

— Функция вида \(\displaystyle y=\frac{k}{x-m}+n\) представляет собой гиперболу.

— Вертикальная асимптота определяется знаменателем: \[x=m.\]

— Горизонтальная асимптота: \[y=n.\]

Асимптота - это прямая, к которой график функции неограниченно приближается, но никогда не пересекает.

— Расположение ветвей определяется знаком числителя \(k\):

\(\,\,\,\bullet\) при \(k>0\) — ветви в I и III четвертях;

\(\,\,\,\bullet\) при \(k<0\) — во II и IV четвертях.

а) Вертикальная асимптота: \(x=m\), а так как \(m>0\), она расположена справа от оси \(y\).

Горизонтальная асимптота: \(y=n\), и поскольку \(n<0\), она проходит ниже оси \(x\).

Поскольку \(k<0\), ветви гиперболы находятся во II и IV четвертях относительно своих асимптот.

б) Вертикальная асимптота: \(x=m\), где \(m<0\) — расположена слева от оси \(y\).

Горизонтальная асимптота: \(y=n\), где \(n>0\) — выше оси \(x\).

При \(k<0\) ветви гиперболы также будут расположены во II и IV четвертях относительно асимптот.

а) \((\sqrt{10})^2=10\).

б) \((\sqrt[3]{5})^3=5\).

в) \((-\sqrt[4]{12})^4=(-1)^4\cdot(\sqrt[4]{12})^4=\)

\(=1\cdot 12=12\).

г) \((2\sqrt[5]{-2})^5=2^5\cdot(\sqrt[5]{-2})^5 =\)

\(32\cdot(-2)=-64\);

д) \((\sqrt[5]{-8})^5 = -8\);

е) \((-2\sqrt{3})^2= (-2)^2 \cdot (\sqrt3)^2 =\)

\(=2\cdot3 = 6\).

Пояснения:

В задаче используются основные свойства степеней и корней.

Главное правило:

\[ (\sqrt[n]{a})^n=a \]

То есть корень и степень одинакового порядка взаимно уничтожают друг друга.

Также используется свойство степени:

\[ (ab)^n=a^n b^n \]

И правило степени отрицательного числа:

\[ (-a)^n = \begin{cases} a^n, & \text{если } n \text{ чётное} \\ -a^n, & \text{если } n \text{ нечётное} \end{cases} \]