Упражнение 989 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( \begin{cases} \dfrac{x}{3}+\dfrac{x}{4}<7,  /\times 12 \\[2pt] 1-\dfrac{x}{6}>0   /\times 6 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 4x+3x < 84, \\ 6 - x > 0   /\times 6 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 7x < 84, / :7 \\ -x > -6  / : (-1) \end{cases} \)

\( \begin{cases} x < 12, \\ x < 6 \end{cases} \)

Ответ: \((-\infty; 6)\)

б) \( \begin{cases} y-\dfrac{y-1}{2}>1, /\times 2 \\[2pt] \dfrac{y}{3} < 5  /\times3 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 2y-(y-1) > 2,\\[2pt] y < 15 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 2y-y+1 > 2,\\[2pt] y < 15 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y > 2 - 1,\\[2pt] y < 15 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y > 1,\\[2pt] y < 15 \end{cases} \)

Ответ: \((1; 15)\)

в) \( \begin{cases} \dfrac{3x-1}{2}-x\le 2, /\times 2 \\[2pt] 2x-\dfrac{x}{3}\ge 1  /\times 3 \end{cases} \)

\( \begin{cases}3x-1-2x\le 4, \\[2pt] 6x-x\ge 3 \end{cases} \)

\( \begin{cases}x-1\le 4, \\[2pt] 5x\ge 3  / : 5 \end{cases} \)

\( \begin{cases}x\le 4 + 1, \\[2pt] x\ge \frac35 \end{cases} \)

\( \begin{cases}x\le 5, \\[2pt] x\ge 0,6 \end{cases} \)

Ответ: \([0,6; 5].\)

г) \( \begin{cases} 2p-\dfrac{p-2}{5} > 4, /\times 5 \\[2pt] \dfrac{p}{2}-\dfrac{p}{8}\le 6 /\times 8 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 10p-(p-2) > 20, \\[2pt] 4p -p\le 48 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 10p-p+2 > 20, \\[2pt] 3p\le 48 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 9p > 20 - 2, \\[2pt] 3p\le 48 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 9p > 18,  / : 9 \\[2pt] 3p\le 48  / : 3 \end{cases} \)

\( \begin{cases} p > 2, \\[2pt] p \le 16 \end{cases} \)

Ответ: \((2; 16].\)

Пояснения:

Чтобы решить систему неравенств, нужно найти пересечение решений неравенств системы, то есть найти множество чисел, которое является одновременно решением и одного неравенства и решением другого неравенства. Если решения неравенств не пересекаются, то система решений не имеет.

При решении неравенств системы используем то, что:

- если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится равносильное ему неравенство;

- если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство.

- если обе части неравенства разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится равносильное ему неравенство.

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.

У \(-\infty\) и \(+\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.

Приведение дробей к общему знаменателю:

\(\dfrac{A}{m}\pm\dfrac{B}{n}=\dfrac{An\pm Bm}{mn}\).

Раскрытие скобок:

\(-(a - b) = b - a\).

а) \(\left(\dfrac{1}{3}\right)^{-3} = \left(\dfrac{3}{1}\right)^{3} = 3^3 = 27\)

б) \(\left(\dfrac{3}{4}\right)^{-1} = \left(\dfrac{4}{3}\right)^{1} = \dfrac{4}{3}= 1\dfrac{1}{3}\)

в) \(0{,}01^{-2} = \left(\dfrac{1}{100}\right)^{-2} = 100^2 = \)

\(=10000\)

г) \(\left(1\dfrac{2}{3}\right)^{-4} = \left(\dfrac{5}{3}\right)^{-4} = \left(\dfrac{3}{5}\right)^{4} =\)

\(=\dfrac{81}{625}\)

д) \(0{,}002^{-1} = \left(\dfrac{2}{1000}\right)^{-1} =\dfrac{1000}{2}=\)

\(=500\)

е) \(\left(-1\dfrac{1}{3}\right)^{-5} = \left(-\dfrac{4}{3}\right)^{-5} =\)

\(=\left(-\dfrac{3}{4}\right)^{5} = -\dfrac{243}{1024}\)

Пояснения:

Примененное правило:

\(\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n = \frac{b^n}{a^n}. \)