Упражнение 991 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(-3<2x-1<3 \)

\(\begin{cases} 2x-1 > -3,\\ 2x-1<3 \end{cases}\)

\(\begin{cases} 2x > -3 + 1,\\ 2x<3 + 1 \end{cases}\)

\(\begin{cases} 2x > -2,  / : 2 \\ 2x< 4  / : 2 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x > -1, \\ x< 2 \end{cases}\)

Ответ: \((-1; 2)\).

б) \(-12<5-x<17 \)

\(\begin{cases} 5-x > -12,\\ 5-x<17 \end{cases}\)

\(\begin{cases} -x > -12 - 5,\\ -x<17 - 5 \end{cases}\)

\(\begin{cases} -x > -17,  / : (-1) \\ -x<12 / : (-1) \end{cases}\)

\(\begin{cases} x < 17,\\ x> -12 \end{cases}\)

 Ответ: \((-12; 17)\).

в) \(2<6-2y<5\)

\(\begin{cases} 6-2y > 2,\\ 6-2y<5 \end{cases}\)

\(\begin{cases} -2y > 2 - 6, \\ -2y < 5 - 6 \end{cases}\)

\(\begin{cases} -2y > -4,  / : (-2) \\ -2y < -1   / : (-2) \end{cases}\)

\(\begin{cases} y < 2, \\ y > 0,5 \end{cases}\)

Ответ: \((0,5; 2)\).

г) \(-1<5y+4<19\)

\(\begin{cases} 5y+4 > -1,\\ 5y+4<19 \end{cases}\)

\(\begin{cases} 5y > -1 - 4,\\ 5y<19 - 4 \end{cases}\)

\(\begin{cases} 5y > -5,  / : 5 \\ 5y<15 / : 5 \end{cases}\)

\(\begin{cases} y > -1,\\ y<3 \end{cases}\)

Ответ: \((-1; 3)\).

Пояснения:

Двойное неравенство удобно раскладывать на систему из двух простых неравенств:

1) средняя часть больше левой части;

2) средняя часть меньше правой.

Чтобы решить систему неравенств, нужно найти пересечение решений неравенств системы, то есть найти множество чисел, которое является одновременно решением и одного неравенства и решением другого неравенства. Если решения неравенств не пересекаются, то система решений не имеет.

При решении неравенств системы используем то, что:

- если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится равносильное ему неравенство;

- если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство.

- если обе части неравенства разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится равносильное ему неравенство.

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.

а) \(\dfrac{1}{16} \cdot 2^{10}=\dfrac{1}{2^4} \cdot 2^{10}=\)

\(=2^{-4} \cdot 2^{10} = 2^{-4+10} = 2^6 = 64.\)

б) \(32 \cdot (2^{-4})^{2}=2^5 \cdot 2^{-8}=\)

\(=2^{5 + (-8)} = 2^{-3} =\dfrac{1}{2^3}=\dfrac{1}{8}.\)

в) \(8^{-1} \cdot 4^{3}=(2^3)^{-1} \cdot (2^2)^3 =\)

\(=2^{-3} \cdot 2^{6} =2^{-3+6}= 2^{3} = 8.\)

г) \(4^{5} \cdot 16^{-2} = (2^2)^5 \cdot (2^4)^{-2} =\)

\(=2^{10} \cdot 2^{-8} =2^{10+(-8)}= 2^{2} = 4.\)

Пояснения:

Основные свойства степеней:

\( a^{m} \cdot a^{n} = a^{m+n}, \)

\((a^{m})^{n} = a^{m \cdot n}, \)

\(a^{-n} = \frac{1}{a^n}. \)