Упражнение 987 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( \begin{cases} y\ge 0,\\ 7{,}2-y\ge 4 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y\ge 0,\\ -y\ge 4 - 7,2 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y\ge 0,\\ -y\ge -3,2   /: (-1) \end{cases} \)

\( \begin{cases} y\ge 0,\\ y\le 3,2 \end{cases} \)

\(y \in (0; 3,2)\)

Ответ: \(0; 1; 2; 3.\)

б) \( \begin{cases} 12a-37>0,\\ 6a\le 42 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 12a>37, / : 12\\ 6a\le 42  / : 6 \end{cases} \)

\( \begin{cases} a>\frac{37}{12}, \\ a\le \frac{42}{6} \end{cases} \)

\( \begin{cases} a>3\frac{1}{12}, \\ a\le 7 \end{cases} \)

\(a \in (3\frac{1}{12}; 7)\)

Ответ: \(4; 5; 6; 7\).

в) \( \begin{cases} 6-4b>0,\\ 3b-1>0 \end{cases} \)

\( \begin{cases} -4b>-6, / : (-4) \\ 3b>1  / : 3 \end{cases} \)

\( \begin{cases} b<\frac64, \\ b>\frac13 \end{cases} \)

\( \begin{cases} b<1,5, \\ b>\frac13 \end{cases} \)

Ответ: \(1\).

г) \( \begin{cases} 3-18x<0,\\ 0{,}2-0{,}1x>0. \end{cases} \)

\( \begin{cases} -18x<-3,  / : (-18) \\ -0{,}1x>-0{,}2  / : (-0,1) \end{cases} \)

\( \begin{cases} x>\frac{3}{18},\\ x<2 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x>\frac{1}{6},\\ x<2 \end{cases} \)

Ответ: \(1\).

Пояснения:

Чтобы решить систему неравенств, нужно найти пересечение решений неравенств системы, то есть найти множество чисел, которое является одновременно решением и одного неравенства и решением другого неравенства. Из полученного множества нужно выбрать целые числа.

При решении неравенств системы используем то, что:

- если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится равносильное ему неравенство;

- если обе части неравенства разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство;

- если обе части неравенства разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится равносильное ему неравенство.

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.

\(a \ne 0\)

\(a^n \cdot a^{-n} = a^{n + (-n)} = a^0 = 1,\)

значит,  \(a^n\) и \(a^{-n}\) — взаимно обратные числа.

Что и требовалось доказать.

Пояснения:

При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а показатели степеней складывают, тогда 

\(a^n \cdot a^{-n} = a^{n + (-n)} = a^0 = 1,\)

где \(a \ne 0\).

Взаимно обратные числа - это числа, произведение которых равно единице. Следовательно, \(a^n\) и \(a^{-n}\) — взаимно обратные числа.