Упражнение 994 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а)  \(-1<3y-5<1 \)

\(\begin{cases} 3y-5 > -1,\\ 3y-5<1 \end{cases}\)

\(\begin{cases} 3y>-1 + 5, \\ 3y<1 + 5 \end{cases}\)

\(\begin{cases} 3y>4,   / : 3 \\ 3y<6    / : 3 \end{cases}\)

\(\begin{cases} y>\frac43, \\ y<2 \end{cases}\)

\(\begin{cases} y>1\frac13, \\ y<2 \end{cases}\)

Ответ: \(\left(1\frac{1}{3};\,2\right).\)

б) \(-2\le\dfrac{5-2b}{4}\le 1 \)

\(\begin{cases} \dfrac{5-2b}{4} \ge -2, /\times 4 \\ \dfrac{5-2b}{4}\le 1 /\times 4 \end{cases}\)

\(\begin{cases} 5-2b \ge -8, \\ 5-2b \le 4 \end{cases}\)

\(\begin{cases} -2b \ge -8 - 5, \\ -2b \le 4 - 5 \end{cases}\)

\(\begin{cases} -2b \ge -13,  / : (-2) \\ -2b \le -1  / : (-2) \end{cases}\)

\(\begin{cases} b \le 6,5, \\ b \ge 0,5 \end{cases}\)

Ответ: \([0,5;\,6,5].\)

Пояснения:

По условию составляем двойное неравенство.

Двойное неравенство удобно раскладывать на систему из двух простых неравенств:

1) средняя часть больше левой части;

2) средняя часть меньше правой.

Чтобы решить систему неравенств, нужно найти пересечение решений неравенств системы, то есть найти множество чисел, которое является одновременно решением и одного неравенства и решением другого неравенства. Если решения неравенств не пересекаются, то система решений не имеет.

При решении неравенств системы используем то, что:

- если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится равносильное ему неравенство;

- если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство.

- если обе части неравенства разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится равносильное ему неравенство.

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.

а) \(125^{-1} \cdot 25^{2}=(5^{3})^{-1} \cdot (5^{2})^{2} =\)

\(=5^{-3} \cdot 5^{4} =5^{3+4}= 5^{1} = 5.\)

б) \(16^{-3} \cdot 4^{6} = (2^{4})^{-3} \cdot (2^{2})^{6} =\)

\(=2^{-12} \cdot 2^{12} = 2^{-12 + 12}= 2^{0} = 1.\)

в) \((6^{2})^{6} : 6^{14} = 6^{12} : 6^{14} =\)

\(=6^{12-14} = 6^{-2} =\dfrac{1}{6^2}= \dfrac{1}{36}.\)

г) \(12^{0} : (12^{-1})^{2}=12^{0} : 12^{-2} = \)

\(=12^{0 - (-2)} = 12^{2} = 144.\)

д) \(\dfrac{(2^{3})^{5} \cdot (2^{-6})^{2}}{4^{2}}=\dfrac{2^{15} \cdot 2^{-12}}{(2^2)^{2}} =\)

\(=\dfrac{2^{15+(-12)}}{2^{4}} =\dfrac{2^{3}}{2^{4}} =2^{3-4}=\)

\(=2^{-1} = \frac12.\)

е) \(\dfrac{(3^{-2})^{3} \cdot 9^{4}}{(3^{3})^{2}}=\dfrac{3^{-6} \cdot (3^2)^{4}}{3^{6}}=\)

\(=\dfrac{3^{-6} \cdot 3^{8}}{3^{6}} =\dfrac{3^{-6+8}}{3^6} = \dfrac{3^{2}}{3^6} =\)

\(=3^{2-6}=3^{-4} = \dfrac{1}{3^4} =\dfrac{1}{81}.\)

Пояснения:

Основные свойства степеней:

\( a^{m} \cdot a^{n} = a^{m+n}, \)

\(\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n},\)

\((a^{m})^{n} = a^{m \cdot n}, \)

\(a^{0} = 1, \) если \(a\ne0,\)

\(a^{-n} = \frac{1}{a^{n}}. \)