Упражнение 954 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\dfrac{2a-1}{2} - \dfrac{3a-3}{5} > a\)    \(/\times 10\)

\(5(2a-1) - 2(3a-3) > 10a\)

\(10a - 5 - 6a + 6 > 10a\)

\(4a+1 > 10a\)

\(4a - 10a > -1\)

\(-6a > -1\)   \(/ :(-6)\)

\(a < \dfrac{1}{6}\)

Ответ: \((-\infty; \dfrac{1}{6})\).

б) \(x - \dfrac{2x+3}{2} \leqslant \dfrac{x-1}{4}\)   \(/\times 4\)

\(4x - 2(2x+3) \leqslant x - 1\)

\(\cancel{4x} - \cancel{4x} - 6 \leqslant x - 1\)

\(-6\leqslant x-1\)

\(-x\leqslant 6 - 1\)

\(-x \leqslant 5\)     \(/ : (-1)\)

\(x \geqslant -5\)

Ответ: \([-5; +\infty)\).

в) \(\dfrac{5x-1}{5} + \dfrac{x+1}{2} \leqslant x\)  \(/\times 10\)

\(2(5x - 1) + 5(x + 1) \leqslant 10x\)

\(10x -2 + 5x +5\leqslant 10x\)

\(15x + 3 \leqslant 10x\)

\(15x - 10x \leqslant -3\)

\(5x \leqslant -3\)    \(/ : 5\)

\(x \leqslant -\frac35\)

\(x \leqslant -0,6\)

Ответ: \((-\infty; -0,6]\).

г) \(\dfrac{y-1}{2} - \dfrac{2y+3}{8} - y > 2\)  \(/\times 8\)

\(4(y-1) -(2y+3) - 8y > 16\)

\(4y - 4 - 2y - 3 - 8y >16\)

\(-6y - 7 > 16\)

\(-6y > 16 + 7\)

\(-6y > 23\)   \(/ : (-6)\)

\(y < -\frac{23}{6}\)

\(y < -3\frac{5}{6}\)

Ответ: \((-\infty; -3\dfrac{5}{6})\).

Пояснения:

Сначала в каждом неравенстве избавляемся от знаменателей, домножив неравенство на общий знаменатель дробей, входящих в неравенство, учитывая то, что если обе части неравенства умножить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство. Затем, используя распределительное свойство умножения, раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые.

Затем при решении неравенств используем то, что:

- если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится равносильное ему неравенство;

- если обе части неравенства разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство;

- если обе части неравенства разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится равносильное ему неравенство.

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.

У \(-\infty\) и \(+\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.

а) \(\begin{cases} 0,3x-1 < x+0,4,\\ 2-3x < 5x+1\end{cases} \)

\(\begin{cases} 0,3x-x < 0,4 + 1,\\ -3x - 5x < 1 - 2\end{cases} \)

\(\begin{cases} -0,7x < 1,4,   / : (-0,7) \\ -8x < -1    / : (-8)\end{cases} \)

\(\begin{cases} x > -2, \\ x > \frac18 \end{cases} \)

Ответ: \((\frac18; + \infty )\).

б) \(\begin{cases}2{,}5x-0{,}12 > 0{,}6x+0{,}07,\\ 1-2x > -x-4\end{cases}\)

\(\begin{cases}2{,}5x - 0{,}6x > 0{,}07 + 0{,}12,\\ -2x + x > -4 - 1\end{cases}\)

\(\begin{cases} 1,9x > 0,19,   / : 1,9 \\ -x > -5 / : (-1) \end{cases}\)

\(\begin{cases} x > 0,1, \\ x < 5 \end{cases}\)

Ответ: \((0,1; 5)\).

в) \(\begin{cases}2x+1{,}4 < \dfrac{3x-7}{5},  /\times5 \\[6pt] 2x > 3-\dfrac{2x}{5} /\times5 \end{cases}\)

\(\begin{cases}10x + 7 < 3x - 7, \\[6pt] 10x > 15-2x \end{cases}\)

\(\begin{cases}10x - 3x < -7 - 7, \\[6pt] 10x + 2x > 15 \end{cases}\)

\(\begin{cases}7x < -14,  / : 7 \\[6pt] 12x > 15  / : 12 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x < -2, \\[6pt] x > \frac{15}{12} \end{cases}\)

\(\begin{cases} x < -2, \\[6pt] x > \frac{5}{4} \end{cases}\)

\(\begin{cases} x < -2, \\[6pt] x > 1,25 \end{cases}\)

Ответ: нет решения.

г) \(\begin{cases}3(x-2)(x+2)-3x^{2} < x,\\[6pt] 5x - 4 > 4 - 5x\end{cases}\)

\(\begin{cases}3(x^2-4)-3x^{2} < x,\\[6pt] 5x + 5x > 4 +4\end{cases}\)

\(\begin{cases}\cancel{3x^2}-12-\cancel{3x^2} < x,\\[6pt] 10x > 8  / : 10 \end{cases}\)

\(\begin{cases}-12 < x,\\[6pt] x > 0,8 \end{cases}\)

\(\begin{cases}x >-12,\\[6pt] x > 0,8 \end{cases}\)

Ответ: \((0,8; + \infty )\).

д) \(\begin{cases}(x-4)(5x-1)-5x^{2} > x+1,\\[2pt] 3x-0{,}4 < 2x-0{,}6\end{cases}\)

\(\begin{cases} \cancel{5x^2} - x - 20x + 4 - \cancel{5x^2} > x+1,\\[2pt] 3x-2x < -0,6 + 0,4 \end{cases}\)

\(\begin{cases} -21x + 4 > x+1,\\[2pt] x < -0,2 \end{cases}\)

\(\begin{cases} -21x - x > 1 - 4,\\[2pt] x < -0,2 \end{cases}\)

\(\begin{cases} -22x > -3,  / : (-22)\\[2pt] x < -0,2 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x < \frac{3}{22},\\[2pt] x < -0,2 \end{cases}\)

Ответ: \((-\infty; -0,2)\).

е) \(\begin{cases}1+\dfrac{1+x}{3} > \dfrac{2x-1}{6}-2,   /\times6\\[8pt] 3x-\dfrac{x}{4} >4  /\times 4\end{cases}\)

\(\begin{cases}6+2(1+x) > 2x-1-12,\\[8pt] 12x-x > 16\end{cases}\)

\(\begin{cases}6+2+2x > 2x-13,\\[8pt] 11x > 16\end{cases}\)

\(\begin{cases} 2x - 2x > -13 - 8,\\[8pt] 11x > 16  / : 11\end{cases}\)

\(\begin{cases} 0x > -21,\\[8pt] x > \frac{16}{11} \end{cases}\)

\(\begin{cases} 0 > -21,\\[8pt] x > 1\frac{5}{11} \end{cases}\)

Ответ: \((1\frac{5}{11}; + \infty )\).

Пояснения:

Чтобы решить систему неравенств, нужно найти пересечение решений неравенств системы, то есть найти множество чисел, которое является одновременно решением и одного неравенства и решением другого неравенства. Если решения неравенств не пересекаются, то система решений не имеет.

При решении систем неравенств сначала раскрываем скобки, используя распределительное свойство умножения, затем используем то, что:

- если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится равносильное ему неравенство;

- если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство;

- если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится равносильное ему неравенство.

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.

У \(-\infty\) и \(+\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.