Упражнение 958 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\sqrt{2x - 4}\)

\(2x - 4 \geqslant 0\)

\(2x \geqslant 4\)    \(/ : 2\)

\(x \geqslant 2\)

Ответ: \([2; +\infty)\).

б) \(\sqrt{4 - 6a}\)

\(4 - 6a \geqslant 0\)

\(-6a \geqslant -4\)      \(/ : (-6)\)

\(a \leqslant \dfrac{4}{6}\)

\(a \leqslant \dfrac{2}{3}\)

Ответ: \((-\infty; \dfrac{2}{3}]\).

в) \(\sqrt{\dfrac{1+3a}{25}}\)

\(\dfrac{1+3a}{25} \geqslant 0\)   \(/\times 25\)

\(1+3a \geqslant 0\)

\(3a \geqslant -1\)  \(/ : 3\)

\(a \geqslant -\dfrac{1}{3}\)

Ответ: \([-\dfrac{1}{3}; +\infty)\).

г) \(\sqrt{\dfrac{7 - 5a}{8}}\)

\(\dfrac{7 - 5a}{8} \geqslant 0\)   \(/\times 8\)

\(7 - 5a \geqslant 0\)

\(- 5a \geqslant -7\)   \(/ : -5\)

\(a \leqslant \dfrac{7}{5}\)

\(a \leqslant 1,4\)

Ответ: \((-\infty; 1,4]\).

д) \(\sqrt{-3(1-5x)}\)

\(-3(1-5x) \geqslant 0\)

\(-3 + 15x \geqslant 0\)

\(15x \geqslant 3\)   \(/ :15\)

\(x \geqslant \dfrac{3}{15}\)

\(x \geqslant \dfrac{1}{5}\)

\(x \geqslant 0,2\)

Ответ: \([0,2; +\infty)\).

е) \(\sqrt{-(6-x)}\)

\(-(6-x) \geqslant 0\)

\(-6 + x \geqslant 0\)

\(x \geqslant 6\)

Ответ: \([6; +\infty)\).

Пояснения:

Подкоренное выражение в квадратном корне должно быть неотрицательным число, то есть \(\geqslant 0\), исходя из этого условия в каждом случае составляем неравенства и решаем их.

В пунктах в) и г) при решении неравенств сначала избавляемся от знаменателей, на знаменатель дроби, входящей в неравенство, учитывая то, что если обе части неравенства умножить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство.

В пунктах д) и е) при решении неравенств сначала раскрываем скобки, учитывая то, что знак минус перед скобками при их раскрытии меняет все знаки в скобках на противоположные.

Затем при решении неравенств используем то, что:

- если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится равносильное ему неравенство;

- если обе части неравенства разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство;

- если обе части неравенства разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится равносильное ему неравенство.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.

У \(-\infty\) и \(+\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.

а) \(\begin{cases} 3(y-1)-4(y+8)<5(y+5), \\[2pt]1{,}2(1+5y)-0{,}2<5(1-3y)-3y \end{cases} \)

\(\begin{cases} 3y-3-4y-32<5y+25, \\[2pt]1{,}2+6y-0{,}2<5-15y-3y \end{cases} \)

\(\begin{cases} -y-35<5y+25, \\[2pt]1+6y<5-18y \end{cases} \)

\(\begin{cases} -y-5y<25 + 35, \\[2pt] 6y + 18y<5 - 1 \end{cases} \)

\(\begin{cases} -6y<60,  / : (-6) \\[2pt] 24y<4  / : 24 \end{cases} \)

\(\begin{cases} y>-10, \\[2pt] y<\frac{4}{24} \end{cases} \)

\(\begin{cases} y>-10, \\[2pt] y<\frac{1}{6} \end{cases} \)

\(y \in (-10; \frac16)\)

Ответ: положительные значения при \(y \in(0; \frac16)\).

б) \(\begin{cases} 15(y-4) - 14(y - 3) < y(y-9) - y^2, \\[4pt] \dfrac{5-y}{3} - y > 14 - \dfrac{2-y}{6}   /\times6 \end{cases} \)

\(\begin{cases} 15y-60 - 14y + 42 < \cancel{y^2}-9y - \cancel{y^2}, \\[4pt] 2(5-y) - 6y > 84 - (2-y) \end{cases} \)

\(\begin{cases} y-18 < -9y, \\[4pt] 10-2y - 6y > 84 - 2+y \end{cases} \)

\(\begin{cases} y+9y < 18, \\[4pt] 10-8y > 82+y \end{cases} \)

\(\begin{cases} 10y < 18,  / : 10 \\[4pt] -8y - y > 82 - 10 \end{cases} \)

\(\begin{cases} y < \frac{18}{10}, \\[4pt] -9y > 72   / : (-9) \end{cases} \)

\(\begin{cases} y < 1,8, \\[4pt] y < -8 \end{cases} \)

\(y \in (-\infty; -8)\)

Ответ: положительныч значений \(y\) нет.

в) \(\begin{cases} (2y-1)(3y+2)-6y(y-4)<48, \\[4pt] \dfrac{y-1}{8}-\dfrac{6y+1}{4}-1<0 /\times8 \end{cases} \)

\(\begin{cases} \cancel{6y^2} + 4y -3y - 2- \cancel{6y^2}+24y<48, \\[4pt] y-1-2(6y+1)-8<0 \end{cases} \)

\(\begin{cases} 25y - 2<48, \\[4pt] y-1-12y-2-8<0 \end{cases} \)

\(\begin{cases} 25y <48 + 2, \\[4pt] -11y- 11<0 \end{cases} \)

\(\begin{cases} 25y <50,  / : 25 \\[4pt] -11y < 11  / : (-11) \end{cases} \)

\(\begin{cases} y < 2, \\[4pt] y > -1 \end{cases} \)

\(y \in(-1; 2)\)

Ответ: положительные значения при \(y \in (0; 2)\).

Пояснения:

Чтобы найти положительные значения \(y\), удовлетворяющие системе неравенств, нужно решить эту систему и из решения системы выбрать положительные значения \(y\).

Чтобы решить систему неравенств, нужно найти пересечение решений неравенств системы, то есть найти множество чисел, которое является одновременно решением и одного неравенства и решением другого неравенства. Если решения неравенств не пересекаются, то система решений не имеет.

При решении систем неравенств, сначала, если необходимо, избавляемся от знаменателей, домножив обе части неравенства на общий знаменатель всех дробей, входящих в него, затем раскрываем скобки, используя распределительное свойство умножения, при этом используем свойства неравенств:

- если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится равносильное ему неравенство;

- если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство;

- если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится равносильное ему неравенство.

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.

У \(-\infty\) и \(+\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.