Упражнение 953 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\dfrac{3 + x}{4} + \dfrac{2 - x}{3} < 0\)   \(/\times 12\)

\(3(3 + x) + 4(2 - x) < 0 \)

\(9 + 3x + 8 -4x < 0\)

\(-x + 17 < 0\)

\(-x < -17\)   \(/ : (-1)\)

\(x > 17\).

Ответ: \((17; +\infty)\).

б) \(\dfrac{4 - y}{5} - 5y \geq 0\)   \(/\times 5\)

\(4 - y - 25y \geq 0\)

\(4 - 26y \geq 0\)

\(-26y \geq -4\)   \(/ : (-26)\)

\(y \leq \dfrac{4}{26}\)

\(y \leq \dfrac{2}{13}\).

Ответ: \([\dfrac{2}{13}; +\infty)\).

в) \(y - \dfrac{2y - 1}{4} \geq 1\)   \(/\times 4\)

\(4y - (2y - 1) \geq 4\)

\(4y - 2y + 1 \geq 4\)

\(2y \geq 4-1\)

\(2y \geq 3\)    \(/ : 2\)

\(y\geq\frac32\)

\(y \geq 1,5\)

Ответ: \([1,5; +\infty)\).

г) \(x - \dfrac{x - 3}{5} + \dfrac{2x - 1}{10} \leq 4\)   \(/\times 10\)

\(10x - 2(x-3) + (2x - 1) \leq 40\)

\(10x - \cancel{2x} +6 + \cancel{2x} - 1 \leq 40\)

\(10x \leq 40 + 1 - 6 \)

\(10x \leq 35\)   \(/ : 10\)

\(x \leq \frac{35}{10}\)

\(x \leq 3,5\)

Ответ: \([3,5; +\infty)\).

д) \(\dfrac{y - 1}{2} - 1 + \dfrac{2y - 1}{6} > y\)   \(/\times 6\)

\(3(y - 1) - 6 + (2y - 1) > 6y\)

\(3y - 3 - 6 + 2y - 1 - 6y > 0\)

\(-y -10 > 0\)

\(-y > 10\)   \(/ : (-1)\)

\(y < -10\)

Ответ: \((-\infty; -10)\).

е) \(p - \dfrac{p - 1}{2} - \dfrac{p + 3}{4} > 2\)   \(/\times 4\)

\(4p-2(p-1)-(p+3) > 8\)

\(4p - 2p +2-p-3 > 8\)

\(p -1 > 8\)

\(p > 8 + 1\)

\( p > 9\).

Ответ: \((9; +\infty)\).

Пояснения:

Сначала в каждом неравенстве избавляемся от знаменателей, домножив неравенство на общий знаменатель дробей, входящих в неравенство, учитывая то, что если обе части неравенства умножить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство. Затем, используя распределительное свойство умножения, раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые.

Затем при решении неравенств используем то, что:

- если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится равносильное ему неравенство;

- если обе части неравенства разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство;

- если обе части неравенства разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится равносильное ему неравенство.

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.

У \(-\infty\) и \(+\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.

Пусть боковая сторона равнобедренного треугольника равна \(x\) см. Тогда периметр треугольника равен \(20 + 2x\) см и он не превосходит 46 см.

1) Составим неравенство:

\(20 + 2x \le 46\)

\(2x \le 46 - 20\)

\(2x \le 26\)   \( / : 2\)

\( x \le 13\)

2) По неравенству треугольника:

\(x + x > 20\)

\(2x > 20\)   \(/ : 2\)

\(x > 10\)

3) \(10 < x \le 13\)

\[x = 11,\; 12,\; 13.\]

Ответ: длина боковой стороны может быть \(11\), \(12\) или \(13\) см.

Пояснения:

Для равнобедренного треугольника с основанием \(20\) и боковой стороной \(x\) периметр вычисляется как \(2x + 20.\)

По условию «периметр не превосходит 46 см», поэтому составляем неравенство:

\(20 + 2x \le 46\), из которого \( x \le 13\).

Также согласно неравенству треугольника сумма двух сторон треугольника должна быть больше третьей стороны, тогда получим неравенство:

\(x + x > 20\) откуда \(x > 10.\)

Получаем, что \(10 < x \le 13\).

Так как длина стороны выражается целым числом, возможные значения \(x = 11, 12, 13.\) Следовательно, все три значения удовлетворяют условию задачи.

При решении неравенств использовали то, что:

- если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится равносильное ему неравенство;

- если обе части неравенства разделить или умножить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство.