Упражнение 879 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

1) При \(x = \dfrac{1}{4}\):

\(\left(\dfrac{1}{4}\right)^2 - 4 \cdot \dfrac{1}{4} + 1 = \dfrac{1}{16} - 1 + 1 = \)

\(=\dfrac{1}{16}.\)

2) При \(x = -3\):

\((-3)^2 - 4 \cdot (-3) + 1 = \)

\(=9 + 12 + 1 = 22.\)

3) При \(x = 2 - \sqrt{3}\):

\[(2 - \sqrt{3})^2 - 4(2 - \sqrt{3}) + 1=\]

\[= 4 - 4\sqrt{3} + 3 - 8 + 4\sqrt{3} + 1=0\]

Пояснения:

Для нахождения значения многочлена нужно подставить заданное значение переменной и выполнить вычисления.

Использованные приемы:

- квадрат разности двух выражений:

\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).

- распределительное свойство:

\(k(a\pm b) = ka \pm b\).

- свойство арифметического квадратного корня:

\((\sqrt a)^2 = a\).

а) \(\begin{cases} 0,4x - 1 \leq 0, \\ 2,3x \geq 4,6 \end{cases}\)

\(\begin{cases} 0,4x \leq 1,   / : 0,4 \\ 2,3x \geq 4,6  / : 2,3 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x \leq \frac{1}{0,4}, \\ x \geq \frac{4,6}{2,3} \end{cases}\)

\(\begin{cases} x \leq \frac{10}{4}, \\ x \geq \frac{46}{23} \end{cases}\)

\(\begin{cases} x \leq 2,5, \\ x \geq 2 \end{cases}\)

Ответ: \((2; 2,5)\).

б) \(\begin{cases} 0,7x - 2,1 < 0, \\ \tfrac{2}{3}x > 1  /\times3\end{cases}\)

\(\begin{cases} 0,7x < 2,1,  / : 0,7 \\ 2x > 3  / : 2 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x < \frac{2,1}{0,7}, \\ x > \frac32 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x < 3, \\ x > 1,5 \end{cases}\)

Ответ: \((1,5; 3)\).

в) \(\begin{cases} 0,3x > 4, \\ 0,2x + 1 < 6 \end{cases}\)

\(\begin{cases} 0,3x > 4, \\ 0,2x < 6 - 1 \end{cases}\)

\(\begin{cases} 0,3x > 4,  / : 0,3 \\ 0,2x < 5  / : 0,2 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x > \frac{4}{0,3}, \\ x < \frac{5}{0,2} \end{cases}\)

\(\begin{cases} x > \frac{40}{3}, \\ x < \frac{50}{2} \end{cases}\)

\(\begin{cases} x > 13\frac{1}{3}, \\ x < 25 \end{cases}\)

Ответ: \((13\frac{1}{3}; 25)\).

г) \(\begin{cases} \tfrac{5}{6}x - 10 \leq 0, \\ 3x \leq 1 \tfrac{1}{3} \end{cases}\)

\(\begin{cases} \tfrac{5}{6}x \leq 10, \\ 3x \leq \tfrac{4}{3} \end{cases}\)

\(\begin{cases} \tfrac{5}{6}x \leq 10,  /\times6 \\ 3x \leq \tfrac{4}{3}   /\times3 \end{cases}\)

\(\begin{cases} 5x \leq 60, / : 5 \\ 9x \leq 4 / : 9 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x \leq \frac{60}{5}, \\ x \leq \frac49 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x \leq 12, \\ x \leq \frac49 \end{cases}\)

Ответ: \((- \infty; \frac49]\).

Пояснения:

Чтобы решить систему неравенств, нужно найти пересечение решений неравенств системы, то есть найти множество чисел, которое является одновременно решением и одного неравенства и решением другого неравенства. Если решения неравенств не пересекаются, то система решений не имеет.

При решении неравенств системы используем то, что:

- если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится равносильное ему неравенство;

- если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство.

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.

У \(-\infty\) и \(+\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.