Упражнение 864 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 193

а) \( 18 > -7\)

1) \(18+(-5) > -7+(-5)\)

\(13 > -12\)

2) \( 18 + 2,7 > -7 + 2,7\)

\(20{,}7 > -4{,}3\)

3) \( 18 + 7 > -7 + 7\)

\(25 > 0\).

б) \( 5 > -3\)

1) \( 5 - 2 > -3 - 2\)

\(3 > -5\).

2)  \( 5 - 12 > -3 - 12\)

\(-7 > -15\).

3) \( 5 - (-5) > -3 - (-5)\)

\(10 > 2\).

в) \( -9 < 21\)

1) \( -9\cdot2 < 21 \cdot 2\)

\(-18 < 42\).

2) \( -9\cdot (-1) < 21 \cdot (-1)\)

\(9 > -21\)

3) \( -9\cdot (-\frac13) < 21 \cdot (-\frac13)\)

\(3 > -7\)

г) \( 15 > -6\)

1) \( 15 : 3 > -6 : 3\)

\(5 > -2\).

2) \( 15 : (-3) > -6 : (-3)\)

\(-5 < 2\)

3) \( 15 : (-1) > -6 : (-1)\)

\(-15 < 6\)

Пояснения:

1. Если к обеим частям неравенства прибавить или вычесть одно и то же число, знак неравенства сохраняется.

2. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, знак неравенства сохраняется.

3. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный.

\((k-4)x^2 + 16x - 24 = 0\).

\(A = k-4,\; B = 16,\; C = -24\).

\(k-4 \neq 0 \)

\(k \neq 4\).

\(D = B^2 - 4AC =\)

\(=16^2 - 4(k-4)(-24)=\)

\( = 256 - 4(k-4)(-24)=\)

\( = 256 + 96(k-4)=\)

\( = 256 + 96k - 384=\)

\( = 96k - 128\).

Уравнение имеет два корня при \(D > 0\).

\(96k - 128 > 0\)

\(96k > 128\)   \(/ : 96\)

\(k > \frac{128}{96}\)

\(k > \frac{4}{3}\)

\(k > 1\frac{1}{3}\).

Ответ: \( (1\frac{1}{3}; 4) \cup (4; +\infty)\).

Пояснения:

Для квадратного уравнения \(Ax^2 + Bx + C = 0\) количество корней определяется дискриминантом:

\[D = B^2 - 4AC\]

- \(D > 0\) — два различных корня;

- \(D = 0\) — один корень;

- \(D < 0\) — нет корней.

Кроме того, уравнение должно оставаться квадратным, поэтому

\(A \neq 0\), что выполняется при \(k \neq 4\).

В задаче получили дискриминант

\(D = 96k - 128\). Для двух корней необходимо \(D > 0\), то есть

\(96k - 128 > 0\).

При решении неравенства использовали то, что:

- если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится равносильное ему неравенство;

- если обе части неравенства разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство.

Решив неравенство, получили \(k > 1\frac{1}{3}\). Значит, множество значений параметра \(k\), при которых уравнение имеет два корня определяется объединением промежутков \( (1\frac{1}{3}; 4) \cup (4; +\infty)\).