Упражнение 862 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 193

\(a < b\)

1) \(a < b+1. \)

2) \(a-3 < b. \)

3) \(a-5 < b+2. \)

4) \(a+4\) и \(b-1\) - нельзя сравнить.

Пояснения:

При сравнении выражений нужно помнить, что если к обеим частям неравенства прибавить или вычесть одно и то же число, знак неравенства сохраняется.

- В первых трёх пунктах сравнения однозначны, так как добавление и вычитание фиксированных чисел не меняет порядка.

- В последнем случае результат зависит от разницы между \(a\) и \(b\), поэтому сравнение возможно только при подстановке конкретных чисел.

а) \((2 - 2n) - (5n - 27) > 0\)

\(2 - 2n - 5n + 27 > 0\)

\(29 - 7n > 0\)

\(-7n > -29\)   \(/ : (-7)\)

\(n < \dfrac{29}{7}\)

\(n < 4\dfrac{1}{7}\)

\(n \in (- \infty; 4\dfrac{1}{7})\)

Ответ: при \(n = 1, 2, 3, 4\).

б) \((-27,1 + 3n) + (7,1 + 5n) < 0\)

\(-27,1 + 3n + 7,1 + 5n < 0\)

\(-20 + 8n < 0\)

\(8n < 20\)   \(/ : 8\)

\(n < \frac{20}{8}\)

\(n < \frac52\)

\(n < 2,5\)

Ответ: при \(n = 1, 2\).

Пояснения:

Чтобы определить при каких натуральных значениях \(n\) разность положительна, а сумма отрицательна, нужно составить неравенство и решить его. Затем из промежутка, который является решением этого неравенства выбрать натуральные значения.

При решении неравенств сначала раскрываем скобки, учитывая знаки, стоящие перед ними, и приводим подобные слагаемые.

Затем при решении неравенств используем то, что:

- если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится равносильное ему неравенство;

- если обе части неравенства разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство;

- если обе части неравенства разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится равносильное ему неравенство.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.

У \(-\infty\) и \(+\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.